广东省三校2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = lg (2 - x)}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 \leq x < 2}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3}$

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2. 若复数 $z$ 的共轭复数满足 $(1 - i) \bar{z} = - 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 下列有关命题的说法错误的是（）

A、若“ $p \lor q$ ”为假命题，则 $p$ 、 $q$ 均为假命题； B、若 $α$ 、 $β$ 是两个不同平面， $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ ； C、“ $\sin x = \frac{1}{2}$ ”的必要不充分条件是“ $x = \frac{π}{6}$ ”； D、若命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \geq 0$ ，则命题： $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} < 0$ .

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4. 已知离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

$\frac{8}{27}$

$\frac{4}{9}$

$m$

$\frac{1}{27}$

则X的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 均为非零向量， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 若cos（ $\frac{π}{8}$ -α）= $\frac{1}{6}$ ，则cos（ $\frac{3 π}{4}$ +2α）的值为（）

A、 $\frac{17}{18}$ B、 $- \frac{17}{18}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $- \frac{18}{19}$

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7. 若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的弦长为2，则 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、12 D、16

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8. 设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与C交于M，N两点，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ =（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) - \cos (ω x + φ) (φ \in (0, π), ω > 0)$ 对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (x + \frac{π}{2}) = 0$ ，当 $ω$ 取最小值时， $f (\frac{π}{6})$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，在直二面角 $A - B D - C$ 中， $Δ A B D ， Δ C B D$ 均是以 $B D$ 为斜边的等腰直角三角形，取 $A D$ 的中点 $E$ ，将 $Δ A B E$ 沿 $B E$ 翻折到 $Δ A_{1} B E$ ，在 $Δ A B E$ 的翻折过程中，下列不可能成立的是（）

A、 $B C$ 与平面 $A_{1} B E$ 内某直线平行 B、 $C D ∥$ 平面 $A_{1} B E$ C、 $B C$ 与平面 $A_{1} B E$ 内某直线垂直 D、 $B C ⊥ A_{1} B$

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11. 定义 $\frac{n}{p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n}}$ 为 $n$ 个正数 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、…、 $p_{n}$ 的“均倒数”，若已知正整数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的“均倒数”为 $\frac{1}{2 n + 1}$ ，又 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{4}$ ，则 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{10} b_{11}} =$ （）

A、 $\frac{1}{11}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{12}$

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m x + \frac{m}{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则 $m$ 的范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， 2 e)$ C、 $B (x_{2} ， y_{2})$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq - 1 \\ x - y \geq 2 \\ 3 x + y \leq 14 \end{matrix}$ ，则 $z = 4 x + y$ 的最大值为．

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14. 若 ${(\frac{3}{x} - \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中 $x$ 的系数为．

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15. 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上， $P F ⊥ x$ 轴（其中 $F$ 为双曲线的右焦点），点 $P$ 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 $\frac{1}{3}$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $S C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，若三棱锥 $S - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，
$2 b \sin C \cos A + a \sin A = 2 c \sin B$ ；

(1)、证明： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上的点， $B D = 2 D C$ ，且 $∠ A D B = 2 ∠ A C D$ ， $a = 3$ ，求 $b$ 的值．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ，且 $A D = 2 A B = 2 B C = 2 ，$
$∠ B A D = 90 ° ， △ P A D$ 为等边三角形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；点 $E 、 M$ 分别为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(\sqrt{3}, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，试问在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ 使得直线 $Q A$ 与直线 $Q B$ 恰关于 $x$ 轴对称？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = x - \ln x - 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(k ， k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、若不等式 $\frac{(x - m) (x - 1)}{x} > f (x)$ 对任意正实数 $x$ 恒成立，求正整数 $m$ 的取值集合．

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21. 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数

y

（万人）与年份

x

的数据：

第 $x$ 年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
旅游人数 $y$ （万人）	300	283	321	345	372	435	486	527	622	800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了 $y$ 与 $x$ 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 50.8 x + 169.7$ ；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 $y = a e^{b x}$ 的附近．

(1)、根据表中数据，求模型②的回归方程

\hat{y} = a e^{b x}

．（

a

精确到个位，

b

精确到0.01）．

(2)、根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数

R^{2}

，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

回归方程	① $y = 50.8 x + 169.7$	② $\hat{y} = a e^{b x}$
$\sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}$	30407	14607

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据 $(v_{1} ， w_{1}) ， (v_{2} ， w_{2}) ， \dots ， (v_{n} ， w_{n})$ ，其回归直线 $\hat{w} = \hat{α} + \hat{β} v$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (w_{i} - \bar{w}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{w} - \hat{β} \bar{v}$ ．

②刻画回归效果的相关指数 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2 £ \neg \frac{c}{a} + \frac{a}{c} > 2 £ \neg \frac{c}{b} + \frac{b}{c} > 2$ ．

③参考数据： $e^{5.46} \approx 235$ ， $e^{1.43} \approx 4.2$ ．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$Δ = 16 n^{2} + 16 b > 0$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (u_{i} - \bar{u})$
$5.5$	449	6.05	83	4195	9.00

表中 $u_{i} = \ln y_{i} ， \bar{u} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} u_{i}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ, \\ y = 2 \sin θ, \end{array}$ （ $θ$ 为参数），已知点 $Q (4, 0)$ ，点 $P$ 是曲线 $C_{1}$ 上任意一点，点 $M$ 为 $P Q$ 的中点，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ ： $y = k x$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\overset{⇀}{O A} = 3 \overset{⇀}{A B}$ ，求 $k$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 | + | 2 x - 1 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、若 $0 < a < 2$ ，且对任意 $x \in R$ ， $f (x) \geq \frac{3}{2 a}$ 恒成立，求 $a$ 的最小值．

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X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$m$	$\frac{1}{27}$