广东省六校联盟2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $f (x) = x^{2} - 4 x (x \in R)$ ，则 $f (x) > 0$ 的一个必要而不充分的条件是（）

A、 $x < 0$ B、 $x < 0 或 x < 4$ C、 $| x - 1 | > 1$ D、 $| x - 2 | > 3$

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2. 设复数z满足 $\frac{1 + z}{1 - z}$ =i，则|z|=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）

A、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{1} < r_{3}$ B、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{3} < r_{1}$ D、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{3} < r_{1}$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \cos x$ ，若 $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则函数 $f' (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} - 4$ 在 $x = 2$ 处取得极值，若 $m \in [- 1 ， 1]$ ，则 $f (m)$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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6. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中E为棱BB₁的中点（如图），用过点A，E，C₁的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (3, 0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $A B$ 的中点坐标为 $(1, - 1)$ ，则 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8. 函数 $f (x) = \cos 2 x + a \sin x$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上是减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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9. 某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 关于圆周率 $π$ ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请120名同学每人随机写下一个 $x$ 、 $y$ 都小于1的正实数对 $(x ， y)$ ；再统计 $x$ 、 $y$ 两数能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 的个数 $m$ ；最后再根据统计数 $m$ 估计 $π$ 的值，假如统计结果是 $m = 35$ ，那么可以估计 $π$ 的值约为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{47}{15}$ C、 $\frac{51}{16}$ D、 $\frac{19}{6}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} =1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} {=2}^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2019}$ 等于（）

A、 $2^{2019} - 1$ B、 $3 \times 2^{1010} - 3$ C、 $2^{1011} - 3$ D、 $3 \times 2^{1010} - 2$

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) \sin (x - 1) + \frac{x}{x - 1}$ 在 $[- 1, 3]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. $\int_{-1}^{1} e^{| x |} d x$ 值为．

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14. 已知 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 都是等差数列，若 $a_{1} + b_{10} =9$ ， $a_{3} + b_{8} =15$ ，则 $a_{5} + b_{6} =$ ．

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15. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，其准线与双曲线 $y^{2} - x^{2} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，若△ $A B F$ 为等边三角形，则 $p$ ＝.

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16. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图 $A$ 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” $(C h i n e s e t r i a n g l e)$ ，如图 $A$ .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图 $B$ .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式： $C_{n}^{r} + C_{n}^{r + 1} = C_{n + 1}^{r + 1}$ ，其中 $n$ 是行数， $r \in N$ .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是．

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三、解答题

17. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量 $\vec{m}$ ＝(cos B，cos C)， $\vec{n}$ ＝(2a＋c，b)，且 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若b＝ $\sqrt{3}$ ，求a＋c的范围．

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18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为 $\frac{4}{5}$ .第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 $\frac{2}{5}$ ，每次中奖均可获奖金400元.

(1)、求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 $X$ （元）的分布列；

(2)、某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？

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19. 如下图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C = 6$ ， $A D = 8$ ， $B C = 10$ ， $∠ P A D = 45^{\circ}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点。

(1)、求证： $D E / /$ 面 $P B C$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $F$ ，满足 $C F ⊥ D B$ ？若存在，试求出二面角 $F - P C - D$ 的余弦值；若不存在，说明理由。

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20. 已知动圆 $P$ 经过点 $N (1 ， 0)$ ，并且与圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16.$ 相切.

(1)、求点P的轨迹C的方程；

(2)、设 $G (m ， 0)$ 为轨迹C内的一个动点，过点 $G$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交轨迹C于A，B两点，当k为何值时？ $ω = | G A |^{2} + | G B |^{2}$ 是与m无关的定值，并求出该值定值.

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} ln x + b (x - 1)$ ，曲线 $y = f (x)$ 过点 $(e ， e^{2} - e + 1)$ ，且在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = 0$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq {(x - 1)}^{2}$ ；

(3)、若当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq m {(x - 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 $x O y$ 中,曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = t \cos α, \\ y = t \sin α, \end{matrix}$ （t为参数,且 $t \neq 0$ ）,其中 $0 \leq α < π$ ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 $C_{2} : ρ = 2 \sin θ, C_{3} : ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ .$
（Ⅰ）求 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标；

（Ⅱ）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点A, $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点B,求 $| A B |$ 最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值为 $m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正实数，且满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq 3$ .

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