广东省揭阳市普宁市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${4, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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2. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4, x \leq 2 \\ 2^{x}, x > 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = 8$ ，则 $a =$ （）

A、 $4$ 或 $2 \sqrt{3}$ B、 $4$ 或 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $3$ 或 $-2 \sqrt{3}$ D、 $3$ 或 $2 \sqrt{3}$

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4. 下列函数中为奇函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = - 2 x^{2}$

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5. 若a=2^0.5 ， b=log_π3，c=log₂ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则有（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞a＞b D、b＞c＞a

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6. 方程 $2^{x} + x^{2} = \sqrt{2}$ 的解的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 函数y= -e^x的图像（）

A、与y=e^x的图像关于y轴对称 B、与y=e^x的图像关于坐标原点对称 C、与y=e^-^x的图像关于y轴对称 D、与y=e^-^x的图像关于坐标原点对称

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{5} - b x^{3} + 2$ ，若 $f (- 2019) = 0$ ，则 $f (2019) =$ （）

A、 $4$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $- 2$

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9. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的图象可以看成由幂函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的图象变换得到，这种变换是（）

A、向左平移一个单位 B、向右平移一个单位 C、向上平移一个单位 D、向下平移一个单位

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10. 当 $x \in [1 ， 4]$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ 的值域为（）

A、 $[1, 6]$ B、 $[0, 6]$ C、 $[- \frac{1}{4}, 6]$ D、 $[- \frac{5}{4}, 6]$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 3 x + 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $3 x$ B、 $3 x + 1$ C、 $3 x - 1$ D、 $3 x - 2$

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12. 若直线 $y = 2 a$ 与函数 $y = | a^{x} - 1 | (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象有两个公共点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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二、填空题

13. ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - \log_{8} 4 =$ ．

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14. 当 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 时，函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1$ 的图像经过的定点的坐标为．

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15. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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16. 如下图， $△ O A B$ 是边长为 $2$ 的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 < t < 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ ，现给出函数 $f (t)$ 的四个性质，其中说法正确的是．

① $f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

② $f (t)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递增

③当 $t = 1$ 时， $f (t)$ 取得最大值

④对于任意的 $t \in (0 ， 2)$ ，都有 $f (t) + f (2 - t) = \sqrt{3}$

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三、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 < x \leq 3}, B = {x | 0 \leq x < 5}$

(1)、分别求 $A \cup B, A \cap (∁_{U} B)$

(2)、设 $C = {x | x \in A \cup B,$ 且 $x \notin A \cap B}$ ，求集合 $C$

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18. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b$ 在区间 $[2, 3]$ 上的最小值为 $1$ ，最大值为 $4$

(1)、求 $a, b$ 的值

(2)、若 $y = f (x) - m x$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围

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19. 定义，区间 $[a, b] = {x | a \leq x \leq b, 且 a < b}$ ，该区间的长度为 $b - a$ ，已知 $A = [2, \log_{2} t]$ ，集合 $B$ 是函数 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x}$ 的定义域

(1)、若区间 $A$ 的长度为 $3$ ，求实数 $t$ 的值

(2)、若 $A \cap B = A$ ，试求实数 $t$ 的取值范围

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \lg (1 + x) + \lg (1 - x)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的奇偶性

(2)、根据定义讨论 $f (x)$ 在其定义区间上的单调性

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21. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1}$

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$

(2)、当 $a = 2$ 时，求证：方程 $f (x) = \ln x$ 在区间 $(1, 2)$ 内至少有一个根

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22. 对于在区间 $[m, n]$ 上有意义的两个函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，如果对任意的 $x \in [m, n]$ ．均有 $| f (x) - g (x) | \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $[m, n]$ 上是接近的，否则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $[m, n]$ 上是非接近的．现有两个函数 $f_{1} (x) = \log_{a} (x - 2 a)$ 与 $f_{2} (x) = \log_{a} \frac{1}{x - a} (a > 0 ，$ 且 $a \neq 1)$ ，给定区间 $[a + 1, a + 2]$ ，

(1)、若 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 在区间 $[a + 1, a + 2]$ 上都有意义，求 $a$ 的取值范围：

(2)、在 $(1)$ 的条件下，讨论 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 在区间 $[a + 1, a + 2]$ 上是否是接近的

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