东北三省三校2019-2020学年高三上学期理数第一次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | y = \sqrt{(x + 1) (3 - x)}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[- 1, 2)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(2, 3)$

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2. 设 $p$ ： $\frac{x - 3}{x} < 0$ ， $q$ ： $(x - a) (x - a + 2) \leq 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $[2, 3]$ C、 $(2, 3)$ D、 $[- 1, 0]$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (- 2, 1), \vec{c} = (4, 3)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{c} - \vec{a})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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4. 若 $θ$ 是三角形的一个内角，且 $\tan θ = - \frac{4}{3}$ ，则 $\sin (\frac{3 π}{2} - θ) + \cos (\frac{π}{2} - θ) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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5. 曲线 $f (x) = x^{2} + x \ln x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2$ ， $S_{6} = 9 S_{3}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、50 B、100 C、146 D、128

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7. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，设 $a = f (\log_{3} 0.1)$ ， $b = f (3^{- 0.2})$ ， $c = f (3^{1.1})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 关于函数 $f (x) = x + \sin x$ ，下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x)$ 有零点 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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9. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1, - 3)$ ，且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 2) + 3 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ D、 $[1, 3]$

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10. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 \\ x - y \geq 1 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，目标函数 $z = \frac{y + 1}{x + 3}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $S = - \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $a + c$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{7}{2} x - x \ln x ， x > 0 \\ - x^{2} ， x \leq 0 \end{array}$ ，令函数 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2} x - a$ ，若函数 $g (x)$ 有两个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{16} ， e)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{9}{16} ， e)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{9}{16} ， e]$

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二、填空题

13. 若 $y = f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{3} \frac{1}{2})$ =..

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 5 x + a^{2} + a < 0$ 的解集是 $(2, 3)$ ，则 $a =$ .

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15. 设 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{B C} = 4 \vec{C D}$ ，若 $\vec{A D} = \frac{λ}{2} \vec{A B} + \frac{μ}{4} \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ =.

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16. 下列命题中：
①已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ ，则函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 3]$ ；

②若集合 $A = {x | x^{2} + k x + 4 = 0}$ 中只有一个元素，则 $k = \pm 4$ ；

③函数 $y = \frac{1}{1 - 2 x}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数；

④方程 $2^{| x |} = \log_{2} (x + 2) + 1$ 的实根的个数是1.

所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.

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三、解答题

17. 已知命题 $p : \forall x \in [- 2, - 1]$ ，不等式 $a < \frac{2}{x} - x$ 恒成立；命题 $q$ :函数 $\forall x \in [1, + \infty)$ ， $\frac{1}{x} - x ⩽ 4 a^{2} - 1$ ；

(1)、若命题 $p$ 为真，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p \land q$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6}) - 2 \cos^{2} \frac{x}{4} + 1 ， x \in R$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的最小值，并求出取得最值时 $x$ 的值.

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19. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (1 - x)$ ， $f (2) = 0$ ，且0为函数 $g (x) = f (x) - 2$ 的零点.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $f (x) < - x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 6$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 b_{n} - S_{n} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot b_{n}}$ 中，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + (1 + a) x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 0$ 时，设函数 $g (x) = x f (x)$ ，若存在区间 $[m, n] \subseteq [\frac{1}{2}, + \infty)$ ，使得函数 $g (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[k (m + 2) - 2, k (n + 2) - 2]$ ，求实数 $k$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为: ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{5} \cos α \\ y = \sqrt{5} \sin α \end{array} (α$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | a x + 1 |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq x + 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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