广东省2019-2020学年12月数学普通高中学业水平考试试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1, 0, 1, 2}, N = {1, 2, 3},$ 则 $M \cup N =$ （）

A、 $M$ B、 $N$ C、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $(1 + i) i =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 - i$

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3. 某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）

A、94 B、93 C、92 D、91

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4. 直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 的斜率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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5. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $f (x) = x + 3$ B、 $f (x) = x^{2} - 2$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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6. 若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（　　）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x}$ 的定义域是（）

A、 $(0, 4)$ B、 $[0, 4]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$

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8. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} = - 15, a_{10} = - 10,$ 则 $a_{20} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 5$ C、0 D、5

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ x - 2, x > 0 \end{matrix}$ ，设 $f (1) = a$ ，则 $f (a) =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y - 2 \leq 0 \\ \begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \end{array} \end{matrix}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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11. 设 $a = \log_{2} 3, b = \log_{0.3} 2, c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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12. 直线 $l : x + y - 2 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ 截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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13. 已知命题 $p : \exists x_{0} \in [0, + \infty), \ln (1 + x_{0}) = x_{0},$ 则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \notin [0, + \infty), \ln (1 + x_{0}) = x_{0}$ B、 $\forall x \notin [0, + \infty), \ln (1 + x) = x$ C、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty), \ln (1 + x_{0}) \neq x_{0}$ D、 $\forall x \in [0, + \infty), \ln (1 + x) \neq x$

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14. 一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）（参考公式：球的表面积公式为 $S = 4 π R^{2}$ ，其中R是球的半径）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $12 π$

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15. $Δ A B C$ 的内角A,B,C的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $A = \frac{π}{4}$ , $b = 4$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为2，则 $a =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

16. 设向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, m),$ ，若 $\vec{b} / / \vec{a}$ ，则 $m =$

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17. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{2} = 3$ ，则 $S_{3} =$

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18. 从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是

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19. 设椭圆的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B两点，若 $Δ A F_{1} B$ 为等边三角形，则该椭圆的离心率为

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、若 $θ$ 满足 $f (\frac{θ}{2}) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (θ + \frac{π}{4})$ 的值

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21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是 $B C ， A B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 1$ ，证明： $C_{1} D ⊥$ 平面 $A D E$

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