江苏省如皋市2019届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）.

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2}$ 顶点坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， 0)$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在 $5 \times 5$ 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点 $.$ 若 $△ ABC$ 的顶点都在格点上，则 $cos ∠ BAC$ 的值等于 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 如图，在 $△ ABC$ 中，两条中线BE、CD相交于点O，则 $S_{△ DOE}$ ： $S_{△ COB} = ($ $)$

A、1：4 B、2：3 C、1：3 D、1：2

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ P$ 经过三点 $A (8 ， 0)$ ， $O (0 ， 0)$ ， $B (0 ， 6)$ ，点D是 $⊙ P$ 上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是 $($ $)$

A、6 B、8 C、9 D、10

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7. 点P₁（﹣1， $y_{1}$ ），P₂（3， $y_{2}$ ），P₃（5， $y_{3}$ ）均在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{1} = y_{2} > y_{3}$

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8. 已知点 $P (a ， m)$ 、 $Q (b ， n)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，且 $a < 0 < b$ ，则下列结论一定成立的是 $($ $)$

A、 $m + n < 0$ B、 $m + n > 0$ C、 $m < n$ D、 $m > n$

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9. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，▱ABCD中， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $AB = 6$ ， $BC = 2 \sqrt{6} . O_{1}$ ， $O_{2}$ 是边AB上的两点，半径为2的 $⊙ O_{1}$ 过点A，半径为1的 $⊙ O_{2}$ 过点 $B . P$ 、E、F分别是边CD， $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 上的动点 $.$ 则 $PE + PF$ 的最小值等于 $($ $)$

A、 $2 \sqrt{6}$ B、6 C、 $3 + 3 \sqrt{2}$ D、9

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二、填空题

11. 如图，A，B是 $⊙ O$ 上的两点， $OA ⊥ OB$ ，点C在优弧 $\overset{⌢}{AB}$ 上，则 $∠ ACB =$ 度 $.$

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12. 已知点A（a，4）、B（﹣2，2）都在双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 上，则a＝.

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13. 求值： $s i n 60 ° \cdot t a n 30 ° =$ .

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14. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝m．

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15. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则 $cosα - sinα$ 的值等于.

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16. 用半径为 $10 c m$ ，圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 $c m$ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.已知△AOB与△A₁OB₁位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B₁的坐标为.

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18. 在直角坐标系中，已知直线 $y = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$ 经过点 $M (- 1, m)$ 和点 $N (2, n)$ ，抛物线y=ax²-x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是.

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三、解答题

19. 高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式，如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程 $.$ 已知 $∠ CAB = 30^{\circ}$ ， $∠ CBA = 45^{\circ}$ ， $AC = 640$ 公里，求隧道打通后，从A地到B地的路程 $($ 结果保留根号 $)$ .

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20. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

(1)、求出y与x之间的函数关系式；

(2)、写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

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21. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 8$ 与函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (m ， 6)$ ， $B (n ， 2)$ 两点， $AC ⊥ y$ 轴于C， $BD ⊥ x$ 轴于D

(1)、求k的值；

(2)、根据图象直接写出 $- 2 x + 8 - \frac{k}{x} < 0$ 的x的取值范围；

(3)、 $P$ 是线段AB上的一点，连接PC，PD，若 $△ PCA$ 和 $△ PDB$ 面积相等，求点P坐标.

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22. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，延长 $B C$ 至点 $D$ ，使 $D C = C B$ ，延长 $D A$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为 $E$ ，连接 $A C$ ， $C E$ .

(1)、求证： $∠ E = ∠ D$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $B C - A C = 2$ ，求 $C E$ 的长.

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23. 如图，抛物线 $y = {ax}^{2} + bx - 3$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，顶点为D.

(1)、求a和b的值；

(2)、将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上.
$①$ 求平移后所得图象的函数解析式；

$②$ 若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若 $1 \leq x \leq 2$ 时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度.

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24. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是 $\overset{⏜}{B D C}$ 的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且 $\overset{⏜}{B F} = \overset{⏜}{A D}$ .

(1)、求证：△ADC∽△EBA；

(2)、如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值.

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25. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ，以AC为直径的 $⊙ O$ 与AB边交于点D， $EB = EC$

(1)、求证：DE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.

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26. 如图 $①$ ， $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ， $AC = 4$ ， $BC = 3. D$ 为AB的中点， $∠ EDF = 90^{\circ}$ ，DE交AC于点G，DF经过点C.

(1)、求 $tan ∠ DCG$ 的值.

(2)、如图②，将 $∠ EDF$ 绕点D顺时针方向旋转 $α (0^{\circ} < α < 70^{\circ})$ ， $∠ EDF$ 的两边分别交AC于M，BC于 $N .$ 试判断 $\frac{GM}{CN}$ 的值是否随着 $α$ 的变化而变化？如果不变，请求出 $\frac{GM}{CN}$ 的值；反之，请说明理由.

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27. 复习课中，教师给出关于x的函数 $y = 2 k x^{2} - (4 k + 1) x - k + 1$ （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

①存在函数，其图像经过（1，0）点；

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

③当 $x > 1$ 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

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28. 如图 $①$ ，在四边形ABCD的边AB上任取一点 $P ($ 点P不与A，B重合 $)$ ，分别连接PD，PC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把P叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把P叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点“.

解决问题

(1)、如图①， $∠ A = ∠ B = ∠ DPC = 50^{\circ}$ ，试判断点P是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.

(2)、如图②，在四边形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格 $($ 网格中每个小正方形的边长为 $1)$ 的格点 $($ 即每个小正方形的顶点 $)$ 上，试在图 $②$ 中画出四边形ABCD的边BC上的相似点，并写出对应的相似三角形；

(3)、如图③，在四边形ABCD中， $∠ B = ∠ C = 90^{\circ}$ ， $AB = 3$ ， $CD = 5$ ， $AD = 8.$ 点P在边BC上，若点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，求BP的长.

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