2017年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-02 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（）

A、[0，1） B、（﹣1，2） C、（﹣1，2] D、（﹣∞，0]∪（1，+∞）

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2. 若复数z₁ ， z₂在复平面内对应的点关于x轴对称，且z₁=1+2i，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ =（）

A、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $x - \sqrt{2} y = 0$ B、 $\sqrt{2} x - y = 0$ C、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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4. ${(2 x - \frac{1}{2 x})}^{10}$ 的常数项为（）

A、﹣252 B、252 C、﹣210 D、210

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5. 下列说法正确的个数为（）

①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；
②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x₀∈R，sinx₀＞1”；
③“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件；
④已知直线a，b和平面α，若a⊥α，b∥α，则a⊥b．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）

A、216 B、108 C、432 D、120

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7. 函数f（x）=（cosx）•ln|x|的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8.
执行如图所示程序框图，若输入的k=4，则输出的s=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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9. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $8 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{15}$ D、 $8 \sqrt{15}$

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10. 在△ABC中，BC= $\sqrt{6}$ ，AB=2，1+ $\frac{t a n A}{t a n B}$ = $\frac{2 A B}{A C}$ ，则AC=（）

A、 $\sqrt{6}$ ﹣1 B、1+ $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ ﹣1 D、1+ $\sqrt{3}$

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11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与此抛物线交于A、B两点，若 $\vec{N B} \cdot \vec{A B}$ =0，且| $\vec{A F}$ |﹣| $\vec{B F}$ |=4，则p的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为．

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14. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=y﹣3x的最大值是．

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15. 函数y=2sinωx+2sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）（ω＞0）的最小正周期为2π，若x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），则函数取得最大值时的x= ．

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16. 已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2 $\sqrt{2}$ ，PC= $\sqrt{5}$ ，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₂ ， a₃+1，a₄成等差数列．

（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）记b_n=a_n+log₂a_n₊₁ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
15
女生
15
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
（ I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；
（ II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表仅参考：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d）

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19. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB= $\sqrt{2}$ EA= $\sqrt{2}$ ED，EF∥BD
（ I）证明：AE⊥CD
（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F（1，0）的距离与到直线x=2的距离的比值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

（ I）求动点S的轨迹E的方程；
（ II）过点F作与x轴不垂直的直线l交轨迹E于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（ $\vec{M P}$ + $\vec{M Q}$ ）• $\vec{P Q}$ =0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=（ax+2）lnx﹣（x²+ax﹣a﹣1）（a∈R）

（ I）若函数f（x）的图象在x=e处的切线的斜率为 $\frac{2}{e}$ ﹣2e，求f（x）的极值；
（ II）当x＞1时，f（x）的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为： ${\begin{matrix} x = \sqrt{5} c o s θ \\ y = 3 + \sqrt{5} s i n θ \end{matrix}$ （其中θ为参数）．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（ II）直线l的参数方程为： ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （其中t为参数），直线l与曲线C分别交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的斜率．

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23. 已知函数f（x）=|x+2|﹣|2x﹣a|，（a∈R）．

（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，f（x）＜3恒成立，求a的取值范围．

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	喜欢《最强大脑》	不喜欢《最强大脑》	合计
男生		15
女生	15
合计

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828