辽宁省铁岭市六校协作体2019-2020学年高三上学期文数11月月考试卷

试卷更新日期：2020-01-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \lg (1 - x)} ， B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(z - 2 i) (2 - i) = 5$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 3 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + (m + 1) y + m = 0$ ， $l_{2}$ ： $m x + 2 y + 1 = 0$ ，则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的必要不充分条件是（）

A、 $m = 2$ 或 $m = 1$ B、 $m = 1$ C、 $m = - 2$ D、 $m = - 2$ 或 $m = 1$

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4. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为15，且 $a_{5} = 3 a_{3} + 4 a_{1}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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5. 如图，在空间四边形 $ABCD$ 中，点 $EH$ 分别是边 $A B ， A D$ 的中点， $F ， G$ 分别是边 $B C ， C D$ 上的点， $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $E F$ 与 $G H$ 互相平行 B、 $E F$ 与 $G H$ 异面 C、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 可能在直线 $A C$ 上，也可能不在直线 $A C$ 上 D、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 一定在直线 $A C$ 上

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6. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3} ， A P = 4$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $48 π$ C、 $64 π$ D、 $72 π$

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7. 若 $a > b > 1$ ， $P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}$ ， $Q = \frac{1}{2} (\lg a + \lg b)$ ， $R = \lg (\frac{a + b}{2})$ ，则（）

A、 $R < P < Q$ B、 $P < Q < R$ C、 $Q < P < R$ D、 $P < R < Q$

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8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36 °$ 的等腰三角形（另一种是顶角为 $108 °$ 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $Δ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\sin 234 ° =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{5}}{4}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ D、 $- \frac{4 + \sqrt{5}}{8}$

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9. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值是 $($ $)$

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- 1$

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10. 已知点 $A (3 ， 0) ， B (0 ， 3) ， M (1 ， 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $P ， Q$ 分别在线段 $A B ， B O$ 上运动，则 $Δ M P Q$ 的周长的最小值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{34}$

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11. 若圆 $C_{1}$ ： ${(x - m)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10 (m > 0)$ 始终平分圆 $C_{2}$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 的周长，则直线 $3 x + 4 y + 3 = 0$ 被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - 3 x^{2} + 3 x - 3 (a \in Z)$ 在区间 $(0 ， 2]$ 上有零点，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} c o s x - \frac{3}{4}$ （ $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ）的最大值是．

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14. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和， $a_{1} \neq 0 ， a_{2} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}} =$ .

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15. 若圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ，关于直线 $2 a x + b y + 6 = 0$ 对称，则由点 $(a ， b)$ 向圆所作的切线长的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} ， x \leq 0 ， \\ e^{x} ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 ${[f (x)]}^{2} = a$ 恰有两个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ．已知 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = 2$ ， $q = d$ ， $S_{10} = 100$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $d > 1$ 时，记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱锥 $V - Α Β C$ 中，平面 $V Α Β ⊥$ 平面 $Α Β C$ ， $Δ V Α Β$ 为等边三角形， $Α C ⊥ Β C$ 且 $Α C = Β C = \sqrt{2}$ ， $Ο$ ， $Μ$ 分别为 $Α Β$ ， $V Α$ 的中点．

(1)、求证： $V Β //$ 平面 $Μ Ο C$ ；

(2)、求证：平面 $Μ Ο C ⊥$ 平面 $V Α Β$ ；

(3)、求三棱锥 $V - Α Β C$ 的体积．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 2 ∠ B$ ， $A D = 2 D C = 4$ ， $\sin ∠ B = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为6，求 $\sin ∠ C A B \cdot \sin ∠ A C B$ 的值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (3 ， 4)$ ， $A B$ 边上中线 $C D$ 所在直线方程为 $2 x + 3 y - 11 = 0$ ， $A C$ 边上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x - 3 y + 7 = 0$ ，求：

(1)、顶点 $C$ 的坐标；

(2)、求 $Δ A B C$ 外接圆的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x - 1$ ．

(1)、设 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点．求 $a$ ，并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{2} | + | x + \frac{1}{2} |$ ，M为不等式 $f (x) < 2$ 的解集.

(1)、求M；

(2)、证明：当a，b $\in M$ 时， $| a + b | < | 1 + a b |$ .

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