辽宁省葫芦岛协作校2019-2020学年高三上学期理数第二次试卷

试卷更新日期：2020-01-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > - 2}, B = {x | (x + 5) (x - 2) \leq 0}$ ,则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(- 2, 2]$ D、 $[- 5, + \infty)$

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2. 若向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (- 1, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 命题“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 2019 x_{0} + 2020 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 < 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \geq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \geq 0$

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4. 函数 $f (x) = 3^{x} + 4 x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2}, 2)$ D、 $(2, \frac{5}{2})$

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5. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，下列判断正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ B、若 $m ⊥ γ$ ， $n ⊥ γ$ ，则 $m / / n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$

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6. 已知两个单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，向量 $\vec{m} = 5 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ，则 $2 \sqrt{2}$ （）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\sqrt{21}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、7

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7. “ $\forall x, y > 0$ ， $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) \geq a$ ”是“ $a \leq 8$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = - a \sin 3 x + a + b (a > 0 ， x \in R)$ 的值域为 $[- 5 ， 3]$ ，函数 $g (x) = b - \cos a x$ ，则 $g (x)$ 的图象的对称中心为（）

A、 $(\frac{k π}{4} ， - 5) (k \in Z)$ B、 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8} ， - 5) (k \in Z)$ C、 $(\frac{k π}{5} ， - 4) (k \in Z)$ D、 $(\frac{k π}{5} + \frac{π}{10} ， - 4) (k \in Z)$

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9. 设 $\tan 211 ° = a$ ，则 $\frac{\sin 17 ° + \cos 17 °}{\sin 17 ° - \cos 17 °} =$ （）

A、 $\frac{2 a}{a^{2} - 1}$ B、 $\frac{2 a}{1 - a^{2}}$ C、 $\frac{a}{a^{2} - 1}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - 1}$

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10. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 $S$ 平方厘米，半球的半径为 $R$ 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则 $R$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \sqrt{\frac{35}{10 π}}]$ B、 $[\sqrt{\frac{3 S}{10 π}} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{\frac{S}{5 π}} ， \sqrt{\frac{3 S}{10 π}}]$ D、 $[\sqrt{\frac{3 S}{10 π}} ， \sqrt{\frac{S}{2 π}})$

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11. 已知函数 $y = f (x - 1)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数,且 $y = f (x)$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上单调递增,则不等式 $f (- 2^{x}^{- 1} - 1) < f (3)$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 3)$

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12. 已知函数 $f (x) = 3 x + 2 \cos x$ ， $g (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 5)$ ，若 $\forall x_{1} \in (- \infty ， 0]$ ， $\forall x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) + a \leq g (x_{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - \frac{40}{27}]$ C、 $(- \infty ， - 3]$ D、 $(- \infty ， - \frac{94}{27}]$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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14. 函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{6}) \cdot \cos (x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为.

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15. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，则不等式 $f (x + 1) + f (2 x) > 0$ 的解集为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 1}, a_{2} = 8, a_{5} = 20, b_{n} = 2^{n + 1} + 1$ ，设数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $a_{1} =$ ； $S_{n} =$ .

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三、解答题

17. 已知集合 $M = {x | 0 < x < 4}$ ， $N = {x | - m < x < m + 1}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $M \cap (∁_{R} N)$ ；

(2)、若 $M \cup N = M$ ，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知首项为 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $3$ 项和为 $3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{2} \neq 1$ ， $b_{n} = \log_{2} | a_{n} |$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n + 1} b_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的直观图如图所示，其中 $A B$ ， $A P$ ， $A D$ 两两垂直， $A B = A D = A P = 2$ ，且底面 $A B C D$ 为平行四边形.

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ .

(2)、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20. $a, b, c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边.已知 $A = \frac{π}{6}, s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ .

(1)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ,求 $b$ ;

(2)、若 $c^{2} - b^{2} = 47$ ,求 $Δ A B C$ 的周长.

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21. 如图1，在等腰 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A C$ ， $A B$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $G$ 在线段 $B C$ 上，且 $B G = 3 C G$ 。将 $Δ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到 $A_{1}$ 的位置（如图2所示），且 $A_{1} F ⊥ C D$ 。

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $A_{1} F G$ ；

(2)、求平面 $A_{1} F G$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成锐二面角的余弦值

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22. 已知函数 $f (x) = b x^{2} + a \ln x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为 $a + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a \leq \frac{e}{2}$ 时，证明： $f (x) < x^{2} + \frac{2}{x} e^{x - 2}$ .

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