辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-01-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $l$ 经过点 $(0, - 1)$ 和 $(1, 0)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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2. 已知 $M (- 3, 0), N (3, 0), | P M | - | P N | = 6$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、一条射线 B、双曲线右支 C、双曲线 D、双曲线左支

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3. 焦点坐标为 $(0, 3), (0, - 3)$ ，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{91} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{100}$ $+ \frac{x^{2}}{91} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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4. 直线 $L_{1} ： a x + 3 y + 1 = 0 ， L_{2} ： 2 x + （ a + 1 ） y + 1 = 0$ ，若 $L_{1} / / L_{2}$ ，则a的值为（）

A、﹣3 B、2 C、﹣3或2 D、3或﹣2

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5. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = r_{1}^{2}$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = r_{2}^{2}$ 外切则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的周长之和为 $($ 　　 $)$

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $18 π$ D、 $24 π$

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6. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 k^{2} x + 2 y + 4 k = 0$ 关于 $y = x$ 对称，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、0

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7. 一条光线从点 $(- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 12 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1的两个焦点是F₁ ， F₂ ，点P在该椭圆上，若|PF₁|－|PF₂|=2，则 $△ {PF}_{1} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 直线 $l$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 在 $(- \sqrt{3}, 1)$ 处的切线，点 $P$ 是圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最小值等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 是双曲线上在第一象限内的点，直线 $P O$ 、 $P F_{2}$ 分别交双曲线 $C$ 左、右支于另一点 $M$ 、 $N$ ， $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，且 $∠ M F_{2} N = 60^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

11. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ,则下面四个命题中错误的是（）

A、若 $C$ 为椭圆,则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 为双曲线,则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、曲线 $C$ 可能是圆 D、若 $C$ 为椭圆，且长轴在 $y$ 轴上，则 $1 < t < 2$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，则有（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $∠ M A N = 60 °$ D、 $∠ M A N = 120 °$

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13. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的上顶点为 $M$ ，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，双曲线 $C_{2}$ 和椭圆 $C_{1}$ 有相同焦点，且双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ， $P$ 为曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的一个公共点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则正确的是（　　）

A、 $\frac{e_{2}}{e_{1}} = 2$ B、 $e_{1} \cdot e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = \frac{5}{2}$ D、 $e_{2}^{2} - e_{1}^{2} = 1$

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三、填空题

14. 直线 $l : m x + y - 1 - m = 0$ 过定点；过此定点倾斜角为 $\frac{π}{2}$ 的直线方程为．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1, 1), B (1, - 1), P$ 是动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{3}$ ，动点 $P$ 的轨迹方程 $C$ 为；直线 $x = 1$ 与轨迹 $C$ 的公共点的个数为.

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16. 已知双曲线 $C$ 的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点为顶点，则双曲线 $C$ 的方程为；双曲线的焦点到渐近线的距离为.

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{m} + \frac{x^{2}}{m - 4} = 1 (m > 4)$ ，点 $A (- 2, 2)$ 是椭圆内一点， $B (0, - 2)$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P B | = 8$ ，则 $m$ 的范围是；当 $m$ 取得最大值时，椭圆的离心率为.

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四、解答题

18. 已知直线 $l$ 经过直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 与直线 $2 x + y + 2 = 0$ 的交点 $P$

(1)、若直线 $l$ 平行于直线 $3 x - 2 y - 9 = 0$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 垂直于直线 $3 x - 2 y - 8 = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a = 1$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $B = 2 A$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $\sin (B - \frac{π}{6})$ 的值.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $2 x - y - 1 = 0$ 上，且圆 $C$ 经过点 $A (4, 2), B (0, 2)$ .

(1)、求圆的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (1, 1)$ 且与圆 $C$ 相交，所得弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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21. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q \in (0, 1)$ ，且满足 $a_{3} = 2$ ， $a_{1} a_{3} + 2 a_{2} a_{4} + a_{3} a_{5} = 25$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当 $\frac{S_{1}}{1} + \frac{S_{2}}{2} + \dots + \frac{S_{n}}{n}$ 取最大值时，求 $n$ 的值．

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22. 设 $_{F_{1}}$ , $_{F_{2}}$ 分别是椭圆E： $x^{2}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 $_{F_{1}}$ 的直线 $l$ 与E相交于A、B两点，且 $| A F_{2} |$ ， $| A B |$ ， $| B F_{2} |$ 成等差数列。

(1)、求 $| A B |$

(2)、若直线 $l$ 的斜率为1，求b的值。

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23. 已知圆 $F_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{2} x - 14 = 0$ 和定点 $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，其中点 $F_{1}$ 是该圆的圆心， $P$ 是圆 $F_{1}$ 上任意一点，线段 $P F_{2}$ 的垂直平分线交 $P F_{1}$ 于点 $E$ ，设动点 $E$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求动点 $E$ 的轨迹方程 $C$ ；

(2)、设曲线 $C$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 是曲线 $C$ 上异于 $A, B$ 的任意一点，记直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{M A}$ ， $k_{M B}$ ．证明： $k_{M A} \cdot k_{M B}$ 是定值；

(3)、设点 $N$ 是曲线 $C$ 上另一个异于 $M, A, B$ 的点，且直线 $N B$ 与 $M A$ 的斜率满足 $k_{N B} = 2 k_{M A}$ ，试探究：直线 $M N$ 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．

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