2017年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-01 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x| $l o g_{\frac{1}{2}}$ （x﹣1）＞1}，B={x|x²﹣2x﹣3＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若复数z=（sinα﹣ $\frac{1}{3}$ ）+i（cosα﹣ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、﹣2 $\sqrt{2}$

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A、﹣3 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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4. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}$ =3， $\bar{y}$ =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y}$ =0.4x+2.3 B、 $\hat{y}$ =2x﹣2.4 C、 $\hat{y}$ =﹣2x+9.5 D、 $\hat{y}$ =﹣0.3x+4.4

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5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）

A、60里 B、48里 C、36里 D、24里

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6. 已知命题p：函数f（x）=|cos²x﹣sinxcosx﹣ $\frac{1}{2}$ |的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln $\frac{3 + x}{3 - x}$ 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）

A、p∧q B、p∨q C、（￢p）∧（￢q） D、p∨（￢q）

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7. 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）

A、 $\frac{16}{625}$ B、 $\frac{96}{625}$ C、 $\frac{624}{625}$ D、 $\frac{4}{625}$

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8.
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）

A、20+2 $\sqrt{5}$ B、14+4 $\sqrt{5}$ C、26 D、12+2 $\sqrt{5}$

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9. 设各项为正的数列{a_n}满足a₁=2017，log₂a_n=1+log₂a_n₊₁（n∈N+），记A_n=a₁a₂…a_n ，则A_n的值最大时，n=（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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10. 不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 2 \\ x + y \geq 6 \\ x - 2 y \leq 0 \end{matrix}$ ，所表示的平面区域为T，若直线mx﹣y+m+1=0与T有公共点，实数m的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{5}$ ，+∞） B、[ $\frac{1}{5}$ ，+∞） C、（1，+∞） D、[1，+∞）

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11. 过坐标原点O的直线l与圆C：（x+1）²+（y﹣ $\sqrt{3}$ ）²=100相交于A，B两点，当△ABO的面积最大时，则直线l的斜率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{1}{4} x + 1 ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{matrix}$ ，若函数g（x）=f（x）﹣ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（）

A、（0， $\frac{1}{e}$ ） B、（0， $\frac{1}{4}$ ） C、[ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{e}$ ） D、[ $\frac{1}{4}$ ，e）

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二、填空题

13. 在二项式（ $\sqrt[3]{x}$ ﹣ $\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}$ ）⁶的展开式中，第四项的系数为．

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14. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，2S_n₊₁=S_n+S_n₊₂（n∈N₊），若a₃=3，则a₁₀₀= ．

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15. 设点M，N是抛物线y=ax²（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足 $\vec{G N}$ • $\vec{G M}$ ＞0，则a的取值范围是．

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16. 设由直线xsinα﹣ycosα﹣6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合为T，若l₁ ， l₂ ， l₃∈T，且l₁ ， l₂ ， l₃为一个等腰直角三角形三边所在直线，且坐标原点在该直角三角形内部，则该等腰直角三角形的面积为．

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三、解答题

17. 某班在高三凉山二诊考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人．

(1)、请补充完整频率分布直方图；

(2)、现从该班成绩在[130，150]的学生中任选三人参加省数学竞赛，记随机变量x表示成绩在[130，140）的人数，求x的分布列和E（x）．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2 $\sqrt{2}$ cosC+2=0．

(1)、求角C的大小；

(2)、若△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sinAsinB，求c的值．

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19. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB=AF=BC=2．

(1)、当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；

(2)、求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．

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20. 已知F₁、F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F₁ ，在y轴上的正投影为点（0， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点F₁且倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，求证：四边形PABQ为平行四边形．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{t x^{2} - 1}{x}$ ﹣（t+1）lnx，t∈R，其中t∈R．

(1)、若t=1，求证：x＞1，f（x）＞0成立；

(2)、若t≥1，且f（x）＞1在区间[ $\frac{1}{e}$ ，e]上恒成立，求t的取值范围；

(3)、若t＞ $\frac{1}{e}$ ，判断函数g（x）=x[f（x）+t+1]的零点的个数．

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22. 在直角坐标系 xOy中，圆C₁：（x﹣1）²+（y﹣2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求C₁的极坐标方程；

(2)、若直线 ${\begin{matrix} x = t \\ y = t \end{matrix}$ （t参数）与圆C₁的交点为M，N，求△C₁MN的面积（C₁圆心）．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

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