2017年四川省成都市高新区高考数学考前模拟试卷（理科）（2）

试卷更新日期：2017-08-01 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）

A、{﹣3，﹣2，﹣1，0} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣2，﹣1，0} D、{﹣1，0，1}

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2. 在复平面中，复数 $\frac{1}{{(1 + i)}^{2} + 1}$ +i⁴对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若平面区域 ${\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ 夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm²的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知O为△ABC内一点，且 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{O B} + \vec{O C})$ ， $\vec{A D} = t \vec{A C}$ ，若B，O，D三点共线，则t的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²sinC=4sinA，cosB= $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，则△ABC的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）

A、9 B、18 C、20 D、35

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8. 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 $\int_{0}^{\frac{2 π}{3}}$ $\frac{2 π}{3}$ f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）

A、x= $\frac{5 π}{6}$ B、x= $\frac{7 π}{12}$ C、x= $\frac{π}{3}$ D、x= $\frac{π}{6}$

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9. 过双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于M，N两点，A为左顶点，设∠MAN=θ，双曲线C的离心率为f（θ），则f（ $\frac{2 π}{3}$ ）﹣f（ $\frac{π}{3}$ ）等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10.
四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{81 π}{5}$ B、 $\frac{81 π}{20}$ C、 $\frac{101 π}{5}$ D、 $\frac{101 π}{20}$

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11. 如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知函数f（x）= $\frac{1}{e} \cdot e^{x} + \frac{a}{2} x^{2}$ ﹣（a+1）x+a（a＞0），其中e为自然对数的底数．若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的最大值为（）

A、e B、2 C、1 D、 $\frac{e}{2}$

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二、填空题

13. （1﹣x）（2x+1）⁴的展开式中，x³的系数为．

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14. 已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α²+1）（1+cos2α）的值为．

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15. 已知抛物线y²=4x，圆F：（x﹣1）²+y²=1，直线y=k（x﹣1）自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则|AB||CD|的值是．

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16. 如图，在△ABC中，cos∠ABC= $\frac{1}{3}$ ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则△ABC的面积为．

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三、解答题

17. 数列{a_n}中，a₁=2，a_n₊₁= $\frac{n + 1}{2 n} a_{n} (n \in N^{*})$ ．

（Ⅰ）证明数列{ $\frac{a_{n}}{n}$ }是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\frac{a_{n}}{4 n - a_{n}}$ ，若数列{b_n}的前n项和是T_n ，求证：T_n＜2．

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18. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100]
频数
6
a
24
b
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）某评估机构以指标M（M= $\frac{E (ξ)}{D (ξ)}$ ，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

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19. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C₁CB=120°，BC₁⊥A₁C，E为AC的中点．

(1)、求证：A₁C⊥平面C₁EB；

(2)、求二面角A₁﹣AB﹣C的余弦值．

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20. 已知圆O：x²+y²=1和抛物线E：y=x²﹣2，O为坐标原点．

(1)、已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；

(2)、过抛物线E上一点P（x₀ ， y₀）作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，求点P的坐标．

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21. 已知函数f（x）=（x﹣a）²lnx，a∈R．

(1)、若 $a = 3 \sqrt{e}$ ，其中e为自然对数的底数，求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调区间；

(2)、若函数f（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁和C₂的参数方程分别是 ${\begin{matrix} x = 4 t^{2} \\ y = 4 t \end{matrix}$ （t是参数）和 ${\begin{matrix} x = c o s φ \\ y = 1 + s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（α∈[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ]）与曲线C₁的交点为O，P，与曲线C₂的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

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23. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．

(1)、求不等式f（x）＞1解集；

(2)、若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

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等级	不合格		合格
得分	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
频数	6	a	24	b