2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-01 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）

A、{﹣2，﹣1，0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1} D、{0}

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2. 已知复数z₁=2+6i，z₂=﹣2i，若z₁ ， z₂在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、2 $\sqrt{5}$ D、2 $\sqrt{17}$

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3. 在等比数列{a_n}中，a₁=2，公比q=2，若a_m=a₁a₂a₃a₄（m∈N*），则m=（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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4. AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）

A、这12天中有6天空气质量为“优良” B、这12天中空气质量最好的是4月9日 C、这12天的AQI指数值的中位数是90 D、从4日到9日，空气质量越来越好

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5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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6. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a_i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 已知A={（x，y）|x²+y²≤π²}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{4}{π}$ C、 $\frac{2}{π^{3}}$ D、 $\frac{4}{π^{3}}$

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8. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知抛物线C：y²=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣ $\sqrt{3}$ ），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、﹣ $\frac{2}{3}$ D、﹣ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数f（x）=2cos²2x﹣2，给出下列命题：
①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；
②∃α∈（0， $\frac{3 π}{4}$ ），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；
③∀x₁ ， x₂∈R，若|f（x₁）﹣f（x₂）|=2，则|x₁﹣x₂|的最小值为 $\frac{π}{4}$ ；
④∀x₁ ， x₂∈R，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁﹣x₂=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

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11. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、27π B、48π C、64π D、81π

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12. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_m_﹣₁=13，S_m=0，S_m₊₁=﹣15．其中m∈N^*且m≥2，则数列{ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ }的前n项和的最大值为（）

A、 $\frac{24}{143}$ B、 $\frac{1}{143}$ C、 $\frac{24}{13}$ D、 $\frac{6}{13}$

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二、填空题

13. （2x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁶展开式中常数项为（用数字作答）．

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14. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 3 \end{matrix}$ 则z=3x﹣y的最小值为．

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15. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）

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16. 如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．

(1)、求角B的大小；

(2)、若b=2 $\sqrt{3}$ ，求a+c的最大值．

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18. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．

(1)、求BM的长；

(2)、求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

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19. 几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：
年龄
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
受访人数
5
6
15
9
10
5
支持发展
共享单车人数
4
5
12
9
7
3

(1)、由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
年龄低于35岁
年龄不低于35岁
合计
支持
不支持
合计

(2)、若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
P（K²≥k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．

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20. 已知圆C：（x+1）²+y²=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=lnx+ $\frac{a}{x}$ ﹣1，a∈R．

(1)、若关于x的不等式f（x）≤ $\frac{1}{2}$ x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

(2)、设函数g（x）= $\frac{f (x)}{x}$ ，若g（x）在[1，e²]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

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22. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 3 \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ： ${\begin{matrix} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = y \end{matrix}$ 得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

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23. 已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．

(1)、当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；

(2)、若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．

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	年龄低于35岁	年龄不低于35岁	合计
支持
不支持
合计

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828