山西省2019-2020学年高二上学期理数10月联合考试试卷

试卷更新日期：2020-01-02 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 ， n)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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2. 下列说法中正确的是（）

A、圆锥的轴截面是等边三角形 B、用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成 D、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

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3. 已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为 $54 π$ ，则该圆柱的侧面积为（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $54 π$ D、 $81 π$

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4. 如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

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5. 设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $m$ ， $n$ 为两条不同的直线，则下列判断正确的是（）

A、若 $n ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ∥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$

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6. 设 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ ， ${\vec{e}}_{3}$ 为空间的三个不同向量，如果 $λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2} + λ_{3} {\vec{e}}_{3} = \vec{0}$ 成立的等价条件为 $λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0$ ，则称 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ ， ${\vec{e}}_{3}$ 线性无关，否则称它们线性相关．若 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 1 ， m)$ 线性相关，则 $m =$ （）

A、9 B、7 C、5 D、3

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\frac{V_{B_{1} - A B C_{1}}}{V_{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}} =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{64}{3}$

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9. 把边长为2的正 $Δ A B C$ 沿 $B C$ 边上的高线 $A D$ 折成直二面角，则点 $A$ 到 $B C$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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10. 在四面体 $P A B C$ 中， $P C ⊥ P A$ ， $P C ⊥ P B$ ， $A P = B P = A B = 2 P C = 2$ ，则四面体 $P A B C$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{17 π}{12}$ B、 $\frac{19 π}{12}$ C、 $\frac{19 π}{3}$ D、 $\frac{17 π}{3}$

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11. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，且 $A B ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A D + B C = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的表面积为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 2 \sqrt{6}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$

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二、多选题

12. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 B C$ 的中点将 $△ A D E ， Δ C D F ， △ B E F$ 分别沿 $D E 、 D F 、 E F$ 折起，使 $A 、 B 、 C$ 重合于点 $P$ .则下列结论正确的是（）

A、 $P D ⊥ E F$ B、平面 $P D E ⊥ 平面 P D F$ C、二面角 $P - E F - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、点 $P$ 在平面 $D E F$ 上的投影是 $Δ D E F$ 的外心

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (5, - 3, 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标为．

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14. 如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $P A$ ， $C D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为．

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15. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2 \sqrt{2} A B$ ． $E$ 为棱 $B C$ 上的动点，若 $P E + D E$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ ，则 $P B =$ ．

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16. 在四面体 $P A B C$ 中， $P C ⊥ P A$ ， $P C ⊥ P B$ ， $A P = B P = A B = 2 P C = 2$ ，则四面体 $P A B C$ 外接球的表面积是．

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四、解答题

17. 已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 是底 $A B C D$ 对角线的交点.求证：

(1)、 $C_{1} O ∥$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ；

(2)、 $A_{1} C ⊥$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2 x - 1}$ ， $g (x) = x - 1$ .

(1)、求解不等式 $f (x) ⩾ g (x)$ ；

(2)、若 $x > \frac{1}{2}$ ，求 $y = 3 f (x) + 2 g (x)$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x + m$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，且两交点之间的距离不超过5，求 $m$ 的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $P C ⊥ P D$ ， $P C = P D = A D = 2$ ， $M$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥ M D$ ．

(2)、求二面角 $C - M D - P$ 的余弦值．

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，底面 $B C D$ 是以 $B D$ 为斜边的等腰直角三角形， $A B = B D$ ， $E$ 是线段 $A C$ 上一点．

(1)、若 $E$ 为 $A C$ 的中点，求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

(2)、是否存在点 $E$ ，使得平面 $B D E ⊥$ 平面 $A D C$ ？若存在，请指出点 $E$ 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 是棱 $P C$ 上一点．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若 $P E = 4 E C$ ， $O$ 为点 $E$ 在平面 $P A B$ 上的投影， $A D = \sqrt{3}$ ， $A B = A P = 2 C D = 2$ ，求四棱锥 $P - A D E O$ 的体积．

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