辽宁省铁岭市2019届数学中考一模试卷

试卷更新日期：2019-12-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2019的倒数是（）

A、 $\frac{1}{2019}$ B、 $2019$ C、 $- \frac{1}{2019}$ D、 $- 2019$

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2. 桌上摆着一个由若干个正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要正方体的个数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a \cdot 3 a^{2} = 6 a^{2}$ B、 ${(- a^{5})}^{2} = a^{10}$ C、 $- 2 a + a = 3 a$ D、 $- 6 a^{6} \div 2 a^{2} = - 3 a^{3}$

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4. 如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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5. 根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2018年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：

用水量/吨

15

20

25

30

35

户数

3

6

7

9

5

则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是(　　)

A、25，27 B、25，25 C、30，27 D、30，25

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6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，该公司第二，三两个月投放单车数量的月平均增常率为x，则所列方程正确的为（）

A、 $1000 {(1 + x)}^{2} = 440$ B、 $1000 {(1 + x)}^{2} = 1000 + 440$ C、 $1000 {(1 + x)}^{2} = 1000$ D、 $1000 {(1 + 2 x)}^{2} = 1000 + 440$

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7. 在平面直角坐标系中，点P(－2， $x^{2}$ ＋1)所在的象限是

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8.
如图，点A是反比例函数y= $\frac{2}{x}$ （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣ $\frac{3}{x}$ 的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S_□_ABCD为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 如图，在边长为6的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，以点 $D$ 为圆心，菱形的高 $D F$ 为半径画弧，交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $18 - 3 π$ B、 $18 \sqrt{3} - 9 π$ C、 $9 \sqrt{3} - \frac{9 π}{2}$ D、 $18 \sqrt{3} - 3 π$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $A D$ 的中点，动点 $E$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动，到点 $B$ 时停止运动；同时，动点 $F$ 从点 $P$ 出发，沿 $P \to D \to Q$ 运动，点 $E$ 、 $F$ 的运动速度相同，设点 $E$ 的运动路程为 $x$ ， $△ A E F$ 的面积为 $y$ ，能大致刻画 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为0.000 000 017m，该直径可用科学记数法表示为.

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12. 分解因式： $a b^{3} - 4 a b$ =.

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13. 数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是.

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14. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50

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15. 关于x的一元二次方程ax²+bx+ $\frac{1}{4}$ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ， b=.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k_{1} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 在第一象限内的图像交于点 $B$ ，连接 $B O$ .若 $S_{Δ O B C} = 1$ ， $t a n ∠ B O C = \frac{1}{3}$ ，则 $k_{2}$ 的值是.

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17. 如图，菱形ABCD的面积为120cm² ，正方形AECF的面积为50cm² ，则菱形的边长cm.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ A B O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转到 $△ A_{1} B_{1} O_{2}$ 的位置，使点 $O_{1}$ 的对应点 $O_{2}$ 落在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上……，依次进行下去，若点 $A$ 的坐标是（0，1），点 $B$ 的坐标是 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，则点 $A_{8}$ 的横坐标是.

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三、解答题

19. 先化简，再求值.
（1﹣ $\frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$ ）÷ $\frac{x^{2} - 1}{x}$ ，其中x=（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣²﹣tan45°.

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20. 为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：

(1)、本次调查的学生人数是人；

(2)、图2中α是度，并将图1条形统计图补充完整；

(3)、请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；

(4)、老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.

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21. 某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务,为了减少对交通的影响,在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度,工作效率是原来的4倍,结果共用了6个小时就完成了任务.求原来每小时维修了多少米？

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22. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点，过点 $C$ 的直线交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $A E ⊥ D C$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 是 $A E$ 与 $⊙ O$ 的交点， $A C$ 平分 $∠ B A E$

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线

(2)、若 $A E = 6$ ， $∠ D = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积

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23. 如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩鸟P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长.(参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414，结果精确到0.1)

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24. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

(3)、设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

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25. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）.

(1)、如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；

(2)、如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF= $\frac{1}{2}$ AD，请给出证明；

(3)、在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.

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26.
如图，已知抛物线y= $\frac{1}{3}$ x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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投篮次数（n）	50	100	150	200	250	300	500
投中次数（m）	28	60	78	104	123	152	251
投中频率（m/n）	0.56	0.60	0.52	0.52	0.49	0.51	0.50

用水量/吨	15	20	25	30	35
户数	3	6	7	9	5