陕西省汉中市2019-2020学年高三上学期理数第五次质量检测数学试卷

试卷更新日期：2019-12-30 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in R | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $N = {x \in N | x^{2} \geq 0}$ ，则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${x \in Z | x < 0 或 0 < x < 3}$ C、 ${x \in Z | 0 < x < 3}$ D、 ${0, 1, 2}$

查看试题解析
2. 复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 1, 2), \vec{c} = (k, 1)$ ，且 $(2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $0$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
4. 我们常用的数是十进制数，如 $4657 = 4 \times 10^{3} + 6 \times 10^{2} + 5 \times 10^{1} + 7 \times 10^{0}$ ，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中 $110 = 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 2^{0}$ 等于十进制的数6， $110101 = 1 \times 2^{5} + 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ 等于十进制的数53．那么十二进制数66用二进制可表示为（）

A、1001110 B、1000010 C、101010 D、111000

查看试题解析
5. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟，均为正整数）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

查看试题解析
6. $《$ 九章算术 $》$ 是我国古代著名数学经典 $.$ 其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小 $.$ 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺 $.$ 问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺 $.$ 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示 $($ 阴影部分为镶嵌在墙体内的部分 $) .$ 已知弦 $A B = 1$ 尺，弓形高 $C D = 1$ 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）(注：1丈 $= 10$ 尺 $= 100$ 寸， $π \approx 3.14$ ， $sin {22.5}^{\circ} \approx \frac{5}{13}$ )

A、600立方寸 B、610立方寸 C、620立方寸 D、633立方寸

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的最小正周期是 $π$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得的函数图象过点 $P (0 ， 1)$ ，则函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （）

A、有一个对称中心 $(\frac{π}{12} ， 0)$ B、有一条对称轴 $x = \frac{π}{6}$ C、在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减 D、在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增

查看试题解析
8. 若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则下列不等式错误的是（）

A、 $a^{c} > b^{c}$ B、 $a b^{c} > b a^{c}$ C、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ D、 $\log_{a} c > \log_{b} c$

查看试题解析
9. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 4, n \in N^{*}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n + 1}$ B、 $2^{n}$ C、 $2^{n - 1}$ D、 $2^{n - 2}$

查看试题解析
10. 过抛物线y²＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
11. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $N ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ ．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线N的离心率为 $e_{2}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 为（）

A、 $\sqrt{3} + 3$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

查看试题解析
12. 已知点 $P$ 为函数 $f (x) = \ln x$ 的图象上任意一点，点 $Q$ 为圆 ${[x - (e + \frac{1}{e})]}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则线段 $P Q$ 的长度的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{e^{2} + 1} - e}{e}$ B、 $\frac{\sqrt{2 e^{2} + 1} - e}{e}$ C、 $\frac{e - \sqrt{e^{2} - 1}}{e}$ D、 $e + \frac{1}{e} - 1$

查看试题解析
13. 已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{a_n}满足a₁=1且a_n=n（a_n+1-a_n）（n∈N*），则f（a₃₆）+f（a₃₇）=（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

查看试题解析

二、填空题

14. $在（ 1 + x ）^{2} （ 1 - \frac{2}{x} ）^{3} 的展开式中，含 x 项的系数为$

查看试题解析
15. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 3 \leq 0 \\ x + 2 y - 5 \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为.

查看试题解析
16. 点S、A、B、C在半径为 $\sqrt{2}$ 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 $\frac{1}{2}$ ， $A B = B C = C A = \sqrt{3}$ ，则点S与 $Δ A B C$ 中心的距离为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {sin}^{2} x + sin x cos x$ ．
（I）当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

（II）已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $f (\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $a = 4 ， b + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：

题

A

B

C

答卷数

180

300

120

（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？

（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及其数学期望 $E （ X ）$ ．

查看试题解析
19. 如图1， $Δ A B C$ 是等腰直角三角形， $A B = A C = 3 \sqrt{2}$ ，D，E分别是AC，AB上的点， $C D = B E = \sqrt{2}$ ，将 $Δ A D E$ 沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ，使得 $A^{'} B = A^{'} C = 2 \sqrt{3}$ ．
图1 图2

(1)、证明：平面 $A^{'} B C ⊥$ 平面BCD；

(2)、求 $A^{'} B$ 与平面 $A^{'} C D$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
20. 在直角坐标系xOy中，动点P与定点 $F (1 ， 0)$ 的距离和它到定直线 $x = 4$ 的距离之比是 $\frac{1}{2}$ ，设动点P的轨迹为E．

(1)、求动点P的轨迹E的方程；

(2)、设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若 $C D ∥ A B$ ，求证： $\frac{| C D |^{2}}{| A B |}$ 为定值．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a (\ln x - x + 1) (a < 2)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点的个数；

(2)、若方程 $f (x) + a + 1 = 0$ 在 $(0 ， 2]$ 上有且只有一个实根，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ + \frac{π}{4}) .$ （Ⅰ）求曲线 $C$ 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若点 $P$ 的直角坐标为 $(1, 0)$ ，试求当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $| P A | + | P B |$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = m - | x + 2 |, m \in R$ ，且 $f (x - 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 3, 3]$ .

(1)、解不等式： $f (x) + f (x - 2) > 0$ ；

(2)、若 $a, b, c$ 均为正实数，且满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq 3$ .

查看试题解析

题	A	B	C
答卷数	180	300	120