辽宁省沈阳市皇姑区2019届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-12-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 如图所示的工件，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）

A、∠ABD=∠ACB B、∠ADB=∠ABC C、AB²=AD•AC D、 $\frac{A D}{A B}$ = $\frac{A B}{B C}$

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4. 已知点C是线段AB的黄金分割点 $(AC < BC)$ ，若 $AB = 4$ ，则AC的长为 $($ 　　 $)$

A、 $(6 - 2 \sqrt{5})$ B、 $(2 \sqrt{5} - 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1)$ D、 $(3 - \sqrt{5})$

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5. 抛物线y=2（x+3）²+5的顶点坐标是（）

A、（3，5） B、（﹣3，5） C、（3，﹣5） D、（﹣3，﹣5）

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6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} = 1$

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7. 如果 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，那么代数式 $x^{3} + 2 x^{2} - 7$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、6 B、8 C、 $- 6$ D、 $- 8$

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8. 如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为

A、40mm B、45mm C、48mm D、60mm

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9. 受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $300 (1 + x) = 450$ B、 $300 (1 + 2 x) = 450$ C、 $300 {(1 + x)}^{2} = 450$ D、 $450 {(1 - x)}^{2} = 300$

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10. 若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）

A、0＜a＜1 B、1＜a＜2 C、2＜a＜3 D、3＜a＜4

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二、填空题

11. 方程 $x^{2} = 9$ 两根的积为.

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12. 若 $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{x + y}{x - y}$ ＝.

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13. 如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是.

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14. 如图，在直角坐标系中，有两点 $A (6 ， 3)$ 、 $B (6 ， 0) .$ 以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$ ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为.

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15. 已知 $△ ABC$ 的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为.

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16. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将 $△ BDP$ 沿DP所在的直线翻折后，点B落在 $B_{1}$ 处，若 $B_{1} D ⊥ BC$ ，则点P与点B之间的距离为.

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三、解答题

17. 计算： $4 c o s 30^{\circ} - 3 t a n 60^{\circ} + 2 s i n 45^{\circ} \cdot c o s 45^{\circ}$ .

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18. 解方程： $x (x - 2) + x - 2 = 0$ .

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19. 如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作 $E F ⊥ A C$ ，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.

(1)、求证：四边形AECF是菱形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，请直接写出EF的长为.

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20. 超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率.

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21. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D ， E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ= $\frac{3}{4}$ ，求灯杆AB的长度.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上， $O A ⊥ O B$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点C.

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、若将 $△ B O A$ 绕点B按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$ 得到 $△ B O_{1} A_{1} ($ 点O、A的对应点分别为 $O_{1}$ 、 $A_{1})$ ，点 $A_{1}$ 是否在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由.

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23. 某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元 $($ 不含套餐成本 $) .$ 为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为 $x (x > 5)$ 元，该店日销售利润为y元 $. ($ 日销售利润 $=$ 每天的销售额 $-$ 套餐成本 $-$ 每天固定支出 $)$

(1)、求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围.

(2)、该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？

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24. 在矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为 $α (0^{\circ} < α < 180^{\circ})$ ，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.

(1)、如图 $①$ ，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为；

(2)、如图 $②$ ，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，
$①$ 求证： $△ A C D$ ≌ $△ C A E$ ；

$②$ 直接写出线段DH的长度为.

(3)、如图 $③$ 设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中， $△ B E P$ 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.

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25. 如图 $①$ ，抛物线 $C_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过原点 $(0 ， 0)$ ，与x轴的另一个交点为 $(2 ， 0)$ ，将抛物线 $C_{1}$ 向右平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 交x轴于A、B两点 $($ 点A在点B的左边 $)$ ，交y轴于点C.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的解析式.

(2)、如图 $②$ ，当 $m = 2$ 时，连接AC，过点A做 $A D ⊥ A C$ 交抛物线 $C_{2}$ 于点D，连接CD.
$①$ 求抛物线 $C_{2}$ 的解析式.

$②$ 直接写出点D的坐标.

(3)、若抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上存在点P，使 $△ P A C$ 为等边三角形，请直接写出此时m的值.

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