2017年山东省、湖北省部分重点中学高考数学冲刺模拟试卷（理科）（四）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数z满足 $z = \frac{a + i}{2 - i} + a$ 为纯虚数，则复数|z|的模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 已知U={y|y=log₂x，x＞1}，P={y|y= $\frac{1}{x}$ ，x＞2}，则∁_UP=（）

A、[ $\frac{1}{2}$ ，+∞） B、（0， $\frac{1}{2}$ ） C、（0，+∞） D、（﹣∞，0）∪（ $\frac{1}{2}$ ，+∞）

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3. A，B是圆O：x²+y²=1上不同的两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，若存在实数λ，μ使得 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则点C在圆O上的充要条件是（）

A、λ²+μ²=1 B、 $\frac{1}{λ}$ + $\frac{1}{μ}$ =1 C、λ•μ=1 D、λ+μ=1

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4. 现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2^x的图象（部分）如图：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A、①④③② B、③④②① C、④①②③ D、①④②③

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5. 三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、3π D、12π

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6. 已知定义在R上的函数f（x）=x²+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（ $\log_{\frac{1}{3}}$ e），b=f（log₃π），c=f（e^m）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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7. 若实数a，b均不为零，且x^2a= $\frac{1}{x^{b}}$ （x＞0），则（x^a﹣2x^b）⁹展开式中的常数项等于（）

A、672 B、﹣672 C、﹣762 D、762

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8. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若 $f (x) = c o s \frac{π}{3} x$ ，则输出的S的值为（）

A、0 B、671.5 C、671 D、672

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9. 设A₁ ， A₂分别为双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{x^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的上下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k $_{M A_{1}}$ •k $_{M A_{2}}$ <2 ，则双曲线C的离心率的取值范围为（）

A、（0， $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ） B、（1， $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ） C、（ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，+∞） D、（1， $\frac{3}{2}$ ）

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10. 已知a＞2，函数f（x）= ${\begin{matrix} l o g_{a} (x + 1) + x - 2 ， x > 0 \\ x + 4 - {(\frac{1}{a})}^{x + 1} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ 若函数f（x）有两个零点x₁ ， x₂ ，则（）

A、∃a＞2，x₁﹣x₂=0 B、∃a＞2，x₁﹣x₂=1 C、∀a＞2，|x₁﹣x₂|=2 D、∀a＞2，|x₁﹣x₂|=3

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二、填空题

11. 某校高三有800名学生，第二次模拟考试数学考试成绩X～N（110，σ²）（试卷满分为150分），其中90～130分之间的人数约占75%，则成绩不低于130分的人数约为．

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12. $y = \int_{- 2}^{2} (\sqrt{4 - x^{2}} + 2 x) d x$ = ．

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13. 若直线l：ax﹣y﹣a+3=0将关于x，y的不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=2x﹣ay的最小值为．

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14. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

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15. 已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，﹣a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为﹣3，则∠PBQ= ．

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三、解答题

16. 已知函数f（x）=4sinx•cos²（ $\frac{x}{2}$ + $\frac{π}{4}$ ）﹣cos2x．

(1)、将函数y=f（2x）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上的值域；

(2)、已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）= $\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{3}$ a=2bsinA，B∈（0， $\frac{π}{2}$ ），求△ABC的面积．

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17. 已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．

(1)、求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；

(2)、求线段DE的最小值．

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18. 某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如表：
投资股市
获利40%
不赔不赚
亏损20%
购买基金
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率P
   $\frac{1}{2}$
   $\frac{1}{8}$
   $\frac{3}{8}$
概率P
p
   $\frac{1}{3}$
q
（I）甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于 $\frac{4}{5}$ ，求p的取值范围；
（II）某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选出一种，若购买基金现阶段分析出 $p = \frac{1}{2}$ ，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大？

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19. 已知数列{a_n}为等差数列，a₁=3且（a₃﹣1）是（a₂﹣1）与a₄的等比中项．

(1)、求a_n；

(2)、若数列{a_n}的前n项和为S_n ， b_n= $\frac{a_{n}}{S_{n} - n}$ ，T_n=﹣b₁+b₂+b₃+…+（﹣1）ⁿb_n ，求T_n ．

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20. 已知D（x₀ ， y₀）为圆O：x²+y²=12上一点，E（x₀ ， 0），动点P满足 $\vec{O P}$ = $\frac{1}{2} \vec{E D}$ + $\frac{\sqrt{3}}{3} \vec{O E}$ ，设动点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A₁（﹣2，0），A₂（2，0）分别作A₁M⊥l于M，A₂N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A₁MNA₂的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=ax²e^x+blnx，且在P（1，f（1））处的切线方程为（3e﹣1）x﹣y+1﹣2e=0，g（x）=（ $\frac{2}{x}$ ﹣1）ln（x﹣2）+ $\frac{l n x - 1}{x}$ +1．

(1)、求a，b的值；

(2)、证明：f（x）的最小值与g（x）的最大值相等．

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投资股市	获利40%	不赔不赚	亏损20%	购买基金	获利20%	不赔不赚	亏损10%
概率P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	概率P	p	$\frac{1}{3}$	q