2017年黑龙江省佳木斯六中高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x²﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（）

A、[﹣1，2） B、[﹣1，2] C、[﹣4，1] D、[﹣1，4]

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =1，| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=3，则| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{13}$ B、6 C、 $\sqrt{11}$ D、5

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3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A、y=lnx B、y=x² C、y=cosx D、y=2^﹣|x|

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4. 已知x，y满足： ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ x - y \leq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是．

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5. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（　　）

A、0 B、9 C、18 D、54

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x²+5x﹣5，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）

A、y=x B、y=﹣2x+3 C、y=﹣3x+4 D、y=x﹣2

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9. 已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足 $\vec{A M} = t \vec{A B} + (1 - t) \vec{A C}$ ，若 $∠ B A M = \frac{π}{3}$ ，则t的值为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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10. 正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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11. 三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为 $\frac{9}{2}$ ，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）² ，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若 $f (m) - f (1 - m) \geq \frac{3}{2} - 3 m$ ，则实数m的取值范围是（）

A、（﹣∞，1] B、 $(- \frac{1}{3} ， 1]$ C、[1，+∞） D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. 某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．

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14. 函数y= $\sqrt{3}$ sin2x﹣cos2x的图象可由函数 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象至少向右平移个单位长度得到．

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15. 已知数列{a_n}满足 $a_{n} = (n^{2} + 4 n) c o s n π$ ，则{a_n}的前50项的和为．

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16. 已知圆C：x²+y²=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足 $S_{n} = S_{n - 1} + 2 a_{n - 1} + 1 ， (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，且a₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证： $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{n} + 1} < \frac{1}{2}$ ．

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18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

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19. 为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占

\frac{8}{13}

，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	$\underline{}$	4	19
周做题时间不足15小时	$\underline{}$	$\underline{}$	$\underline{}$
合计	$\underline{}$	$\underline{}$	45

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（Ⅱ）（ i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；

（ ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线 $x = 2 \sqrt{2}$ 上一动点，直线A₁S交椭圆C于点M，直线A₂S交椭圆于点N，设S₁、S₂分别为△A₁SA₂、△MSN的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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21. 已知f（x）=e^2x+ln（x+a）．

(1)、当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）²+x．

(2)、若存在x₀∈[0，+∞），使得 $f (x_{0}) < 2 l n (x_{0} + a) + x_{0}^{2}$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C₁：ρ=1， $C_{2} ： {\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t - 1 \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t + 1 \end{matrix}$ （t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁上的点到曲线C₂距离的最小值；
（Ⅱ）若把C₁上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的 $\sqrt{3}$ 倍，得到曲线 $C_{1}^{'}$ ．设P（﹣1，1），曲线C₂与 $C_{1}^{'}$ 交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

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