陕西省汉中市2019-2020学年高三上学期理数11月月考试卷

试卷更新日期：2019-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} = (1 ， - 5)$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、（1，2） B、（1，-2） C、（-1，2） D、（-1，-2）

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $a_{5} = a_{3} + a_{2}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、0

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3. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 60 °$ ， $a^{2} = b c$ ，则 $\sin B \sin C =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 若各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} a_{5} = 81, a_{2} = 3$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、12l B、122 C、123 D、124

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5. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = \frac{1}{3} ， | \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知 $a = \log_{0.6} 0.4, b = \log_{0.4} 0.6, c = 2^{1.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知 $α$ 为第二象限角，则 $\cos α \sqrt{\frac{1 + \sin α}{1 - \sin α}} + \sin^{2} α \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^{2} α}} =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、2

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8. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 60 °$ ， $a^{2} = b c$ ，则 $Δ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、锐角非等边三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期和最大值分别为（）

A、 $π$ ， $\frac{1}{4}$ B、 $π$ ， $\frac{1}{2}$ C、 $2 π$ ， $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 π$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 设 $\cos (α + \frac{π}{10}) = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{3 π}{10}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{23}{25}$ D、 $\frac{23}{25}$

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11. 函数 $f (x) = \frac{2 \cos x - x^{2}}{e^{| x |}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2 x - 8 | + 4 ， x > 0 ， \\ x^{3} + 7 ， x ⩽ 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x^{2} + 2 x - 1) - a$ 有6个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 7]$ B、 $(- 1 ， 7]$ C、 $(4 ， 8)$ D、 $(- 1 ， 8)$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 10$ ，则公比 $q =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ， $\vec{c} = (5, λ)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = (2 a + 3) n^{2} + (a + 1)$ ，某三角形的三边之比为 $a_{4} : a_{3} : a_{2}$ ，则该三角形的最小角的余弦值为.

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16. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $(\sin B + \sin C) (b - c) = (\sin B - \sin A) α$ ，且 $b = 1$ ，则 $c$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的图象经过点（0，1），函数 $g (x) = \tan ω x$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的图象的对称中心与 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (\sin \frac{x}{2} ， \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})) ， \vec{b} = (\cos \frac{x}{2} ， \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}))$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $S$ 的值．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 5$ ， $a_{4} + a_{5} = a_{3} + 13$ .设正项等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{2} b_{4} = 81$ ， $S_{3} = 13$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sin^{2} A - 2 \cos^{2} \frac{B + C}{2} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 6 \sqrt{3}$ ， $b + c = 18$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆的半径.

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21. 已知二次函数 $f (x)$ 的图象经过点（2，-6），方程 $f (x) = 0$ 的解集是 ${- 1 ， 4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) + (3 - 2 m) x$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的最值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2, a_{2} = 4$ 且满足: $a_{n} + a_{n + 1} = 3 S_{n - 1} + 6 (n \geq 2)$

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = t^{n} (2 n - 1) a_{n}, (t \neq 0)$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，求实数 $t$ 的值；

(3)、在(2)的条件下，设 $c_{n} = \frac{2^{n + 1}}{2^{2 n + 1} - 3 \cdot 2^{n} + 1} (n \in N^{*}),$ 记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n, k \in N^{*},$ 存在实数 $λ$ ,使得 $λ \cdot T_{n} < b_{k + 1}$ ,求实数 $λ$ 的最大值.

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