2017年河北省石家庄市高考数学冲刺卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ =（）

A、﹣i B、1+i C、i D、1﹣i

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2. 设集合 $A = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 16}$ ， $B = {x | \frac{2 x - 3}{x - 3} > 1}$ ，则A∩B=（）

A、{x|﹣2≤x＜0或3＜x≤4} B、{x|﹣2≤x≤0或3≤x≤4} C、{x|﹣2＜x≤4} D、{x|0＜x＜3}

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3. 已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 125^{\frac{1}{6}}$ ， $c = l o g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{7}$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、b＜a＜c B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、c＜a＜b

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4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）

A、 $(k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}) ， k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{3}) ， k \in Z$ C、 $(2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}) ， k \in Z$ D、 $(k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}) ， k \in Z$

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5. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁﹣a₅﹣a₁₀﹣a₁₅+a₁₉=2，则S₁₉的值为（）

A、38 B、﹣19 C、﹣38 D、19

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6. 执行如图的程序框图，如果输入的a=6，b=4，那么输出的s的值为（）

A、17 B、22 C、18 D、20

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 某多面体的三视图如下图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该多面体的表面积为（）

A、 $8 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、12 D、 $8 + 5 \sqrt{2}$

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9. 正三角形ABC的两个顶点A，B在抛物线x²=2py（p＞0）上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 在抛物线y=x²与直线y=2围成的封闭图形内任取一点A，O为坐标原点，则直线OA被该封闭图形解得的线段长小于 $\sqrt{2}$ 的概率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{16}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{14}$

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11. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{3} V}$ ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）

A、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{60}{31} V}$ B、 $d \approx \sqrt[3]{2 V}$ C、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{15}{8} V}$ D、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{21}{11} V}$

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12. 已知函数f（x）=x²+ln²3x﹣2a（x+3ln3x）+10a² ，若存在x₀使得 $f (x_{0}) \leq \frac{1}{10}$ 成立，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{30}$

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二、填空题

13. ${(1 + \sqrt{x})}^{10}$ 的展开式中x⁴的系数是．（用数字作答）

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14. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAC=60°，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A C}$ = ．

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15. 设实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 6 \\ y \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，则 $y + \frac{1}{2 x}$ 的最大值为．

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16. 已知数列{a_n}满足 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n ，且 $b_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n} 5}{2}$ （n∈N^*），则数列{a_n}的前2n项和S_2n取最大值时，n= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2A=2sinC•（sinA﹣sinC）．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求2a+c的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且EF= $\frac{3}{4}$ BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG= $\sqrt{3}$ ，CF= $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ，BF= $\frac{5}{2}$ ．

(1)、证明：平面FGB⊥平面ABC；

(2)、求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．

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19. 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
纤维长度
（0，100）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500]
甲地（根数）
3
4
4
5
4
乙地（根数）
1
1
2
10
6

(1)、由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
甲地
乙地
总计
长纤维
短纤维
总计
附：（1） $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；（2）临界值表；
P（K²≥k₀）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)、现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．

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20. 已知点 $A (\sqrt{3} ， 0)$ ，点P是圆 ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、已知M，N两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN分别交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数．

(1)、讨论函数y=f（x）的单调性；

(2)、函数y=f（x）的图象与x轴交于A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）两点，x₁＜x₂ ，点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记 $\sqrt{\frac{x_{2} - 1}{x_{1} - 1}} = t$ ，求at﹣（a+t）的值．

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22. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = 1 + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s (θ - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、若P（x，y）是直线l与圆面 $ρ \leq 4 c o s (θ - \frac{π}{6})$ 的公共点，求 $μ = \sqrt{3} x + y$ 的取值范围．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|的最小值为m

(1)、求m的值；

(2)、若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥12．

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纤维长度	（0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500]
甲地（根数）	3	4	4	5	4
乙地（根数）	1	1	2	10	6

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	甲地	乙地	总计
长纤维
短纤维
总计