2017年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={x|x²﹣3x+2＞0}，B={x|3x﹣4＞0}，则A∩B=（）

A、（﹣2，﹣ $\frac{4}{3}$ ） B、（﹣2， $\frac{4}{3}$ ） C、（1， $\frac{4}{3}$ ） D、（2，+∞）

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2. 执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）

A、 $\frac{11}{6}$ B、 $\frac{13}{6}$ C、 $\frac{25}{12}$ D、 $\frac{29}{12}$

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3. 已知向量 $\vec{A B}$ =（1， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{A C}$ =（﹣1， $\sqrt{3}$ ），则∠BAC=（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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4.
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（）

A、8 B、8+4 $\sqrt{10}$ C、2 $\sqrt{10}$ + $\sqrt{13}$ D、4 $\sqrt{10}$ +2 $\sqrt{13}$

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5. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ 中的点在直线x﹣2y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、8

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7. 将函数y=sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ）图象上的点M（θ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）（0＜θ＜ $\frac{π}{4}$ ）向右平移t（t＞0）个单位长度得到点M′．若M′位于函数y=sin2x的图象上，则（）

A、θ= $\frac{π}{12}$ ，t的最小值为 $\frac{π}{12}$ B、θ= $\frac{π}{12}$ ，t的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、θ= $\frac{π}{6}$ ，t的最小值为 $\frac{π}{6}$ D、θ= $\frac{π}{6}$ ，t的最小值为 $\frac{π}{12}$

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8. 某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动．规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）

A、y=[ $\frac{x}{10}$ ] B、y=[ $\frac{x + 2}{10}$ ] C、y=[ $\frac{x + 3}{10}$ ] D、y=[ $\frac{x + 4}{10}$ ]

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二、填空题

9. 已知z=（a﹣2）+（a+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是．

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10. 在（x²+ $\frac{1}{2 x}$ ）⁸的展开式中，x⁷的系数为．（用数字作答）

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11. 已知{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，若a₂=4，S₈=﹣8，则a₁₀= ．

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12. 在极坐标系中，圆ρ=﹣2cosθ的圆心C到直线2ρcosθ+ρsinθ﹣2=0的距离等于．

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13. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l，若l与圆x²+y²+6x+5=0的交点为A，B，且|AB|=2 $\sqrt{3}$ ．则p的值为．

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14. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{3} ， x \leq m \\ x^{2} ， x > m \end{matrix}$ ，函数g（x）=f（x）﹣k．

(1)、当m=2时，若函数g（x）有两个零点，则k的取值范围是；

(2)、若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m的取值范围是．

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三、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{a}{c}$ cosB+ $\frac{b}{c}$ cosA= $\frac{\sqrt{3}}{2 c o s C}$
（I）求∠C的大小；
（II）求sinB﹣ $\sqrt{3}$ sinA的最小值．

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16. 春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．
除夕18时PM2.5浓度
初一2时PM2.5浓度
北京
75
647
天津
66
400
石家庄
89
375
廊坊
102
399
太原
46
115
上海
16
17
南京
35
44
杭州
131
39
（Ⅰ）求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值；
（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X，求随机变量y的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM_2.5浓度的方差分别为s₁²和s₂² ，比较s₁²和s₂²的大小关系（只需写出结果）．

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17.
如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．
（I）求证：EM⊥AD；
（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；
（III）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出 $\frac{E P}{E C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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18. 已知函数f（x）=pe^﹣x+x+1（p∈R）．
（Ⅰ）当实数p=e时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当p=1时，若直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求实数m的取值范围．

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点（﹣1， $\frac{3}{2}$ ），其离心率e= $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C相切，切点为T，且l与直线x=﹣4相交于点S．
试问：在x轴上是否存在一定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ．若对∀n∈N^* ，总∃k∈N^* ，使得S_n=a_k ，则称数列{a_n}是“G数列”．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，其首项a₁=1，公差d=﹣1．证明：数列{a_n}是“G数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ（n∈N^*），判断数列{a_n}是否为“G数列”，并说明理由；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“G数列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

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	除夕18时PM2.5浓度	初一2时PM2.5浓度
北京	75	647
天津	66	400
石家庄	89	375
廊坊	102	399
太原	46	115
上海	16	17
南京	35	44
杭州	131	39