2017年浙江省新高考数学冲刺卷（2）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若复数z满足 $\frac{z}{1 - i}$ =i²⁰¹⁶+i²⁰¹⁷（i为虚数单位），则z为（）

A、﹣2 B、2 C、2i D、﹣2i

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2. （x+ $\frac{1}{x}$ ﹣2）³展开式中的常数项为（）

A、﹣8 B、﹣12 C、﹣20 D、20

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3. 设P：2＜x＜4，Q：lnx＜e，则P是Q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有 $\frac{x}{2}$ f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，1） B、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ）∪（1，+∞） C、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） D、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ）

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5. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 0 \\ - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \end{matrix}$ 则此函数图象上关于原点对称的点有（）

A、0对 B、1对 C、2对 D、3对

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6. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣ $\frac{6}{5}$ c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 如图，已知矩形OABC中，OA=2，OC=1，OD=3，若P在△BCD中（包括边界），且 $\vec{O P}$ =α $\vec{O C}$ + $\frac{1}{2}$ β $\vec{O A}$ ，则α+ $\frac{3}{2}$ β的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、3

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8. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且满足 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =﹣ $\frac{1}{2}$ ，存在向量 $\vec{c}$ 使cos（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{c}$ ， $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ ）= $\frac{1}{2}$ ，则| $\vec{c}$ |的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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9. 已知F为抛物线4y²=x的焦点，点A，B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =15（O为原点），则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{65}}{2}$

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10. 已知f（x）=ax²+（b﹣a）x+c﹣b（其中a＞b＞c），若a+b+c=0，x₁、x₂为f（x）的两个零点，则|x₁﹣x₂|的取值范围为（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ，2 $\sqrt{3}$ ） B、（2，2 $\sqrt{3}$ ） C、（1，2） D、（1，2 $\sqrt{3}$ ）

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二、填空题

11. 已知集合M={x|y=ln $\frac{x - 1}{x}$ }，N={y|y=x²+2x+2}，则M= ，（∁_RM）∩N= ．

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12. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 cm³ ，表面积为 cm² ．

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13. 已知数列{a_n}满足a_n+1+（﹣1）ⁿa_n=2n﹣1，若a₁=1，则a₃= ，前60项的和为．

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14. 某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为．

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15. 已知m∈R，若点M（x，y）为直线l₁：my=﹣x和l₂：mx=y+m﹣3的交点，l₁和l₂分别过定点A和B，则|MA|•|MB|的最大值为．

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16. 有3所高校欲通过三位一体招收24名学生，要求每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有种．

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17. 已知x∈[﹣ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ]，y∈R₊ ，则（x﹣y）²+（ $\sqrt{3 - x^{2}}$ ﹣ $\frac{9}{y}$ ）²的最小值为．

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三、解答题

18. 已知函数f（x）=cosx﹣8cos⁴ $\frac{x}{4}$ ．
（Ⅰ）求该函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数y=f（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）在x∈[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的值域．

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19. 如图，P﹣ABD和Q﹣BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；
（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．

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20. 已知二次函数f（x）=x²+ax+b+1，关于x的不等式f（x）﹣（2b﹣1）x+b²＜1的解集为（b，b+1），其中b≠0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）令g（x）= $\frac{f (x)}{x - 1}$ ，若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，求实数k的取值范围，并求出极值点．

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21. 已知平面内两点A（0，﹣a），B（0，a）（a＞0），有一动点P在平面内，且直线PA与直线PB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，令k₁•k₂=m，其中m≠0．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）已知N点在圆x²+y²=a²上，设m∈（﹣1，0）时对应的曲线为C，设F₁ ， F₂是该曲线的两个焦点，试问是否存在点N，使△F₁NF₂的面积S= $\sqrt{- m}$ •a² ．

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22. 设a_n=xⁿ ， b_n=（ $\frac{1}{n}$ ）² ， S_n为数列{a_n•b_n}的前n项和，令f_n（x）=S_n﹣1，x∈R，a∈N^* ．
（Ⅰ）若x=2，求数列{ $\frac{2 n - 1}{a_{n}}$ }的前n项和T_n；
（Ⅱ）求证：对∀n∈N^* ，方程f_n（x）=0在x_n∈[ $\frac{2}{3}$ ，1]上有且仅有一个根；
（Ⅲ）求证：对∀p∈N^* ，由（Ⅱ）中x_n构成的数列{x_n}满足0＜x_n﹣x_n+p＜ $\frac{1}{n}$ ．

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