吉林省吉林市2019-2020学年高三上学期理数第一次调研测试试卷

试卷更新日期：2019-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $A = {x | - 2 < x < 3}, B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(0, 3)$

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2. 函数 $y = 3 \sin (4 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $π$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (- 2, 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-8 B、4 C、7 D、-1

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4. 已知奇函数 $f (x)$ 当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的表达式是（）

A、 $- x (1 + x)$ B、 $- x (1 - x)$ C、 $x (1 + x)$ D、 $x (x - 1)$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ 且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2019} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-1 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 若 $\cos (α + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到数学函数 $g (x)$ 的图像，在 $g (x)$ 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）

A、 $x = - \frac{π}{24}$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{5 π}{24}$ D、 $x = \frac{π}{12}$

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8. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{A B} = λ \vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{A C} = 2 \vec{a} + μ \vec{b} ， λ ， μ \in R$ ，若 $A ， B ， C$ 三点共线，则 $λ ， μ$ 满足（）

A、 $λ + μ = 2$ B、 $λ μ = - 1$ C、 $λ + μ = 4$ D、 $λ μ = - 4$

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9. 若函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在R上为减函数，则函数 $y = \log_{a} (| x | - 1)$ 的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2 n} = 3 (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots \dots + a_{2 n - 1}) (n \in N^{⋆})$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} = 8$ ,则 $S_{8} =$ （）

A、510 B、255 C、127 D、6540

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11. 已知向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且 $∠ A O C = 30^{°}$ ，设 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m ， n \in R)$ ，若 $\frac{| \vec{O A} |}{| \vec{O B} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若满足条件：存在 $[m ， n] \subseteq D$ ，使 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[k m ， k n]$ （ $k \in R$ 且 $k > 0$ ），则称 $f (x)$ 为“ $k$ 倍函数”，若函数 $f (x) = a^{x}$ $(a > 1)$ 为“3倍函数”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， e^{\frac{3}{e}})$ B、 $(1 ， e^{3})$ C、 $(e^{\frac{2}{e}} ， e)$ D、 $(e ， e^{3})$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, & x > 0 \\ 2^{x + 1}, & x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{e})] =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2,$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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15. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (π x + φ) - 2 \cos (π x + φ)$ $(0 < φ < π)$
若 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，则 $\sin 2 φ =$ .

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三、解答题

17. $A B$ 是底部 $B$ 不可到达的建筑物， $A$ 是建筑物的最高点，为测量建筑物 $A B$ 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在 $C D$ 位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在 $E F$ 位置，测得仰角为75°，已知 $D F = 2$ 米， $D ， F ， B$ 在同一水平线上，求建筑物 $A B$ 的高度。

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . $a_{3} = 6$ ,且 $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列。

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n} + n}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ,求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b \sin (C - \frac{π}{3}) - c \sin B = 0$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的值；

（Ⅱ）若 $a = 4$ ， $c = 2 \sqrt{7}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 设函数 $f (x) = \sin x - 1$ 的正零点从小到大依次为 $x_{1}, x_{2},$ ……， $x_{n}$ ，……，构成数列 ${x_{n}}$ .

(1)、写出数列 ${x_{n}}$ 的通项公式 $x_{n}$ ，并求出数列 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $a_{n} = \frac{S_{n}}{n} - \frac{π}{4}$ ，求 $\sin a_{n}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 4 ， 4]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值与最小值。

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22. 设函数 $f (x) = (m - x) e^{x} (m \in Z)$

(1)、当 $m = 0$ 时，求函数 $f （ x ）$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f （ x ） < x + 3$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值

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