2017年山东省莱芜市高考数学二模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ =（）

A、﹣i B、i C、 $\frac{4}{5} - i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x² ， x∈A}，则A∩B=（）

A、{0，1} B、{﹣1，1} C、{﹣1，0} D、{﹣1，0，1}

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3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）

A、101 B、808 C、1212 D、2012

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4. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 2 \\ x - y \leq 2 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+2y的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、6+6π B、6+8π C、8+6π D、8+8π

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6. 已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知 $s i n α = \frac{1}{2} + c o s α$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{c o s 2 α}{s i n (α - \frac{π}{4})}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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8. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ = $\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ 成立的充要条件是（）

A、 $\vec{a}$ = $\vec{b}$ B、 $\vec{a}$ =2 $\vec{b}$ C、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ 且| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ | D、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ 且方向相同

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9. 已知点A（1，2），过点P（5，﹣2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

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10. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x₁ ， y₁）∈M，存在（x₂ ， y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=x³﹣2x²+3}；      ②M={（x，y）|y=log₂（2﹣x）}；
③M={（x，y）|y=2﹣2^x}；          ④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；
其中具有∟性的集合的个数是（   ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S= ．

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12. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．

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13. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ =4 $\sqrt{\frac{4}{15}}$ ，…，若 $\sqrt{7 + \frac{a}{b}}$ =7 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ ，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b= ．

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14. 已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在第一象限上的动点，过点P引圆x²+y²=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．

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15. 若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x² ，则方程f（x）=sin|x|在[﹣3π，3π]内根的个数是．

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三、解答题

16. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．

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17. 已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2ⁿ^﹣1 ， n∈N^* ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n ，数列{b_n}的前n项和为S_n ，若不等式S_n＞ka_n﹣1对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

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18. 已知函数f（x）=x²+ $\sqrt{2} (m - 1) x + \frac{m}{4}$ ，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．

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19. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA= $\sqrt{6}$ ．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．

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20. 已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤e^a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

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21. 已知曲线C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}$ =1（y≥0），直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．记△OAD的面积S₁ ，四边形ABCD的面积为S₂ ．
（Ⅰ）当点B坐标为（﹣1，0）时，求k的值；
（Ⅱ）若S₁= $\frac{2 \sqrt{30}}{7}$ ，求线段AD的长；
（Ⅲ）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的范围．

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