2017年福建省三明市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|1＜2^x≤16}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）

A、a＞4 B、a≥4 C、a≥0 D、a＞0

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2. 已知i是虚数单位，则复数 $\frac{- 1 + i}{3 + 4 i}$ 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 设F₁ ， F₂为双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为Γ上一点，PF₂与x轴垂直，直线PF₁的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，则双曲线Γ的渐近线方程为（）

A、y=±x B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、y=±2x

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5. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为（）

A、64 B、84 C、340 D、1364

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6. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则S₂₀₁₆=（）

A、3•2¹⁰⁰⁸﹣3 B、2²⁰¹⁶﹣1 C、2²⁰⁰⁹﹣3 D、2²⁰⁰⁸﹣3

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7. 已知函数f（x）=sin（x+φ）﹣2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=π对称，则cos2φ=（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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8. 在区域 $Ω = {(x ， y) | {\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}}$ 中，若满足ax+y＞0的区域面积占Ω面积的 $\frac{1}{3}$ ，则实数a的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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9. 在四面体ABCD中，若AB=CD= $\sqrt{3}$ ，AC=BD=2，AD=BC= $\sqrt{5}$ ，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、﹣ $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} l n | x |}{2^{| x |}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知F₁ ， F₂是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则 $\frac{a^{2} + e^{2}}{b}$ （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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12. “牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3} r^{3}$ B、 $\frac{8}{3} π r^{3}$ C、 $\frac{16}{3} r^{3}$ D、 $\frac{16}{3} π r^{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ =（ $\sqrt{3}$ ，1），| $\vec{b}$ |=1，且 $\vec{a}$ =λ $\vec{b}$ ，则实数λ= ．

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14. 已知（1+ax）（1+x）⁵的展开式中x²的系数为20，则a= ．

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15. 已知函数f（n）=n²cos（nπ），数列{a_n}满足a_n=f（n）+f（n+1）（n∈N⁺），则a₁+a₂+…+a_2n= ．

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16. 对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）＞0；③当x₁≠x₂ ，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁+x₂＜0，则称f（x）为“偏对称函数”．
现给出四个函数：g（x）= ${\begin{matrix} (\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}) x^{2} (x \neq 0) \\ 0 (x = 0) \end{matrix} ； h (x) = {\begin{matrix} l n (- x + 1) (x \leq 0) \\ 2 x (x > 0) \end{matrix} ； ϕ (x) = - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ ；φ（x）=e^x﹣x﹣1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60°，c=4．
（Ⅰ）若b=6，求角C的正弦值及△ABC的面积；
（Ⅱ）若D，E在线段BC上，且BD=DE=EC， $A E = 2 \sqrt{3} B D$ ，求AD的长．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，AD=AP=2， $A B = D P = 2 \sqrt{2}$ ，E为CD的中点，点F在线段PB上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

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19. 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是 $\hat{y} = 2 x + 33$ ．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．

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20. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍．

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^2x（ax²+2x﹣1），a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求证：过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切；
（Ⅱ）当x≤0时，f（x）+1≥0，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) - 2 = 0$ ，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C₁ ．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C₁交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．
（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）当x∈R时，f（x）≥a²﹣a﹣13，求实数a的取值范围．

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