2017年福建省宁德市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）

A、{﹣1，0} B、{0，1} C、{﹣1，0，1} D、{0，1，2}

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2. 若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则 z的共轭复数为（）

A、1+i B、1﹣i C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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3. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4. 已知M是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点N，连接MN，则弦MN的长不小于圆半径的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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6. 已知实数x，y满足的约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 2 \geq 0 \\ 3 x - 2 y - 3 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，表示的平面区域为D，若存在点P（x，y）∈D，使x²+y²≥m成立，则实数m的最大值为（）

A、 $\frac{181}{16}$ B、1 C、 $\frac{9}{13}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知α，β∈R，则“α＞β”是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、即不充分也不必要条件

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8. 已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} + \frac{π}{12}$ B、 $1 + \frac{π}{12}$ C、 $\frac{1}{3} + \frac{π}{4}$ D、 $1 + \frac{π}{4}$

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9. 函数y= $\frac{x^{5}}{3^{x} - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知M为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右支上一点，A，F分别为双曲线C左顶点和的右焦点，MF=AF，若∠MFA=60°，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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11. 已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程 $x^{2} - 2 (1 + \sqrt{3}) x + 4 \sqrt{3} = 0$ 的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{4 \sqrt{3}}{11}]$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{9} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{9} ， \frac{4 \sqrt{3}}{11}]$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{9} ， \frac{2 \sqrt{3}}{11}]$

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12. 若对∀x∈[0，+∞），y∈[0，+∞），不等式e^x⁺^y^﹣²+e^x^﹣^y^﹣²+2﹣4ax≥0恒成立，则实数a取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. ${(x y - \frac{1}{x})}^{8}$ 的二项式中不含x的项的系数为．

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 4 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\frac{x_{1} + y_{1}}{x_{2} + y_{2}}$ = ．

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15. 已知直线l：kx﹣y+k﹣ $\sqrt{3}$ =0与圆x²+y²=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=4 $\sqrt{3}$ ，则|CD|= ．

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16. 已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=2a_n﹣1，{b_n}是等差数列，且b₁=a₁ ， b₄=a₃ ．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{2}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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18. 随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查50人，并将调查情况进行整理后制成如表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，60）
频数	10	10	10	10	10
赞成人数	3	5	6	7	9

(1)、世界联合国卫生组织规定：[15，45）岁为青年，（45，60）为中年，根据以上统计数据填写以下2×2列联表：

	青年人	中年人	合计
不赞成	$\underline{}$	$\underline{}$	$\underline{}$
赞成	$\underline{}$	$\underline{}$	$\underline{}$
合计	$\underline{}$	$\underline{}$	$\underline{}$

(2)、判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为赞成“车柄限行”与年龄有关？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d

独立检验临界值表：

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635

(3)、若从年龄[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取1人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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19. 如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=120°，M为CD上的点．且∠A₁AB=∠A₁AD=90°，AD=A₁A=2，A₁B₁=DM=1．

(1)、求证：AM⊥A₁B；

(2)、若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且MN与平面A₁BD所成角的正弦值为 $\frac{1}{\sqrt{35}}$ ，试求DN的长．

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M（x₀ ， y₀）到点N（2，0）距离的最小值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若x₀＞2，圆E（x﹣1）²+y²=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{m}{2} x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、当m=1时，求证：对∀x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；

(2)、当m≤1时，讨论函数f（x）零点的个数．

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22. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为 $5 c o s^{2} θ + 9 s i n^{2} θ = \frac{45}{ρ^{2}}$ ，且直线l经过椭圆C的右焦点F．

(1)、求椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；

(2)、若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值．

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23. 已知f（x）=|x﹣1|+|x+1|．

(1)、求f（x）≤x+2的解集；

(2)、若 $g (x) = | x + \frac{3}{2} | + | x - \frac{3}{2} | (x \in$ R），求证： $\frac{| a + 1 | - | 2 a - 1 |}{| a |} \leq g (x)$ 对∀a∈R，且a≠0成立．

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