2017年江西省抚州市临川三中高考数学三模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知R为实数集，集合A={x|x²﹣2x≥0}，B={x|x＞1}，则（∁_RA）∩B（）

A、（0，1） B、（0，1] C、（1，2） D、（1，2]

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2. 设i是虚数单位，复数 $\frac{a + 2 i}{1 + i}$ 为实数，则实数a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 函数f（x）=2^x+x的零点所在的区间为（　　）

A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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4. 已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）

A、﹣ $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、﹣ $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R²如下，其中拟合效果最好的为（　　）

A、模型①的相关指数为0.976 B、模型②的相关指数为0.776 C、模型③的相关指数为0.076 D、模型④的相关指数为0.351

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6. 已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，则a₃=（）

A、±5 B、5 C、±3 D、3

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} a^{x} ， x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x \leq 1 \end{matrix}$ 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则的取值范围是（）

A、[4，8） B、（1，+∞） C、（4，8） D、（1，8）

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8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 $\frac{3}{2}$ ，则正视图中的x的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、2 D、3

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9. 设z=x+y，其中实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 0 \leq y \leq k \end{matrix}$ ，若z的最大值为6，则z的最小值为（）

A、﹣3 B、﹣2 C、﹣1 D、0

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10. 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N^*）次多项式a_nxⁿ+a_n_﹣1xⁿ^﹣1+…+a₁x+a₀ ，当x=x₀时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=（（a₃x+a₂）x+a₁）x+a₀ ，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．

A、x⁴+x³+2x²+3x+4 B、x⁴+2x³+3x²+4x+5 C、x³+x²+2x+3 D、x³+2x²+3x+4

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11. 函数f（x）=x³+x，x∈R，当 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、（0，1） B、（﹣∞，0） C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、（﹣∞，1）

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12. 已知圆（x﹣1）²+y²= $\frac{3}{4}$ 的一条切线y=kx与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A、（1， $\sqrt{3}$ ） B、（1，2） C、（ $\sqrt{3}$ ，+∞） D、（2，+∞）

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，m），且| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |，则| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |= ．

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14. 如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
该同志到达当日空气质量重度污染的概率．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x²+y²﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为．

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16. 设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} \leq 1$ ，则 $\sqrt{2}$ a+b取值范围为．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，其中a₁=1，且a₂、a₄、a₆+2成等比数列；数列{b_n}的前n项和为S_n ，满足2S_n+b_n=1

(1)、求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)、如果c_n=a_nb_n ，设数列{c_n}的前n项和为T_n ，求证：T_n＜S_n+ $\frac{1}{4}$ ．

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18. 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

(1)、求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）
非读书迷
读书迷
合计
男
15
女
45
合计

(2)、根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ n=a+b+c+d
P（K²≥k₀）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= $\sqrt{6}$ ，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

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20. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、A，B是抛物线C₂：x²=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C₁相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{e^{x} - a}{x}$ ﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）= $\frac{1 + x l n x}{e^{x}}$ ，证明：0＜g（x）＜1．

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22. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{t}{2} \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数）．

(1)、写出直线l与曲线C的直角坐标方程；

(2)、设曲线C经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x' = 2 x \\ y' = y \end{matrix}$ 得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求 $x + 2 \sqrt{3} y$ 的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|﹣x﹣2．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且存在x₀∈[﹣a，1），使得f（x₀）≤0，求a的取值范围．

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P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	非读书迷	读书迷	合计
男		15
女			45
合计