2017年福建省达标校高考数学考前模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集U=R，集合A={x|x²﹣3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则（∁_UA）∩B等于（）

A、∅ B、{0，1} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 设a∈R，若复数z= $\frac{a - i}{3 + i}$ （i是虚数单位）的实部为 $\frac{1}{2}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{13}{30}$ B、﹣ $\frac{13}{30}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3. 设D是线段BC的中点，且 $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ =4 $\vec{A E}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = 2 \vec{A E}$ B、 $\vec{A D} = 4 \vec{A E}$ C、 $\vec{A D} = 2 \vec{E A}$ D、 $\vec{A D} = 4 \vec{E A}$

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4. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} e^{x} ， 0 \leq x < 1 \\ l n x + e ， 1 \leq x \leq e \end{matrix}$ 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1﹣ $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{e}{1 + e}$ D、 $\frac{1}{1 + e}$

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5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）

A、156里 B、84里 C、66里 D、42里

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6. 设F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （0＜b＜2）的左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|最大值为5，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 执行如图所示的程序框图，输出S值为（）

A、 $- \frac{31}{15}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $- \frac{31}{17}$ D、 $- \frac{9}{13}$

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8. 设ω＞0，函数y=2cos（ωx+ $\frac{π}{5}$ ）﹣1的图象向右平移 $\frac{5 π}{4}$ 个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $16 \sqrt{3}$ B、 $24 \sqrt{3}$ C、 $\frac{80 \sqrt{3}}{3}$ D、 $26 \sqrt{3}$

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10. 设f（x）是定义在R上的函数，它的图象关于点（1，0）对称，当x≤1时，f（x）=2xe^﹣^x（e为自然对数的底数），则f（2+3ln2）的值为（）

A、48ln2 B、40ln2 C、32ln2 D、24ln2

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11. 已知一个平放的正三棱锥型容器的各棱长为6，其内有一小球O（不计重量），现从正三棱锥型容器的顶端向内注水，球慢慢上浮，若注入的水的体积是正三棱锥体积的 $\frac{7}{8}$ 时，球与正三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）

A、π B、 $\frac{3}{2}$ π C、 $\frac{4}{3}$ π D、 $\frac{7}{6}$ π

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12. 设正数x，y满足log $_{\frac{1}{3}}$ x+log₃y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax²﹣18xy+（2a+3）y²≥（x﹣y）²有解，则实数a的取值范围是（）

A、（1， $\frac{55}{29}$ ] B、（1， $\frac{31}{21}$ ] C、[ $\frac{31}{21}$ ，+∞） D、[ $\frac{55}{29}$ ，+∞）

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二、填空题

13. 若（ax+y）⁷的展开式中xy⁶的系数为1，则a= ．

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14. 设各项均为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a₁a₂=35，a₁a₃=45，则S₁₀= ．

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15. 设不等式 ${\begin{matrix} - 1 \leq x \leq 3 \\ y \geq - 1 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x + 2 y - 9 \leq 0 \end{matrix}$ ，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂ ，过F₂作其中一条渐近线的垂线，分别交y轴和该渐近线于M，N两点，且 $\vec{M N}$ =3 $\vec{N F_{2}}$ ，则 $\frac{a}{b}$ = ．

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三、解答题

17. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2 $\sqrt{3}$ ，sinB=2sinA．

(1)、若C= $\frac{π}{3}$ ，求a，b的值；

(2)、若cosC= $\frac{1}{4}$ ，求△ABC的面积．

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18. 据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量（个）
频数
频率
0～4
0.15
5～8
40
0.4
9～12
25
13～16
a
c
16以上
5
b
合计
100
1
（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；
（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

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19. 如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，B，E，F分别是AA₁ ， CC₁的中点，且BE⊥B₁F．

(1)、求证：B₁F⊥EC₁；

(2)、求二面角C₁﹣BE﹣C的余弦值．

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20. 已知点H（0，﹣8），点P在x轴上，动点F满足PF⊥PH，且PF与y轴交于点Q，Q为线段PF的中点．

(1)、求动点F的轨迹E的方程；

(2)、点D是直线l：x﹣y﹣2=0上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点，连接DM交曲线E于点N，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．

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21. 已知函数f（x）=e^x+be^﹣^x﹣2asinx（a，b∈R）．

(1)、当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．

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22. 已知曲线C₁在平面直角坐标系中的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{5}}{5} t \\ y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} t - 1 \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C₂：ρ=2cosθ﹣4sinθ

(1)、将C₁的方程化为普通方程，并求出C₂的平面直角坐标方程

(2)、求曲线C₁和C₂两交点之间的距离．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|．

(1)、求不等式f（x）+x²﹣4＞0的解集；

(2)、设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．

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微信群数量（个）	频数	频率
0～4		0.15
5～8	40	0.4
9～12	25
13～16	a	c
16以上	5	b
合计	100	1