广西壮族自治区玉林市2019年高三上学期理数11月月考试卷

试卷更新日期：2019-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z$ 满足 z（1-i）=2，则 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A＝ ${(x, y) | y = x^{3}}, B = {(x, y) | y = x}$ ，则A∩B的元素个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 已知 $\cos (α - π) = \frac{1}{2}$ ， $\vec{a}$ ，则 $\tan α =$ （）.

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 给出下列两个命题：命题 $p$ ：“ $a = 0$ ， $b \neq 0$ ”是“函数 $y = x^{2} + a x + b$ 为偶函数”的必要不充分条件；命题 $q$ ：函数 $y = \ln \frac{1 - x}{1 + x}$ 是奇函数，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land^{\neg} q$ C、 $p \lor q$ D、 $p \lor^{\neg} q$

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5. 设 $a = \log_{3} 18$ ， $b = \log_{4} 24$ ， $c = 2^{\frac{3}{4}}$ ，则a、b、c的大小关系是（）.

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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6. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）

A、 $\frac{2 π}{15}$ B、 $\frac{3 π}{20}$ C、 $1 - \frac{2 π}{15}$ D、 $1 - \frac{3 π}{20}$

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7. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ $\frac{1}{2}$ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 函数 $f (x) = e^{x} \cdot \ln | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入 $x$ 的值为（）

A、-2或-1或3 B、2或-2 C、3或-1 D、3或-2

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，在双曲线上存在点P满足 $2 | \overset{⇀}{P F_{1}} + \overset{⇀}{P F_{2}} | \leq | \overset{⇀}{F_{1} F_{2}} |$ ,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、 $1 < e \leq 2$ B、 $e \geq 2$ C、 $1 < e \leq \sqrt{2}$ D、 $e \geq \sqrt{2}$

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11. 已如三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若 $A B = A C = B C = D B = D C = 1$ ，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（）.

A、 $\frac{5 π}{3}$ B、2π C、5π D、 $\frac{20 π}{3}$

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12. 已知 $P = {α | f (α) = 0}$ ， $Q = {β | g (β) = 0}$ ，若存在 $α \in P$ ， $β \in Q$ ，使得 $| α - β | < n$ ，则称函教 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”，若 $f (x) = 2^{x - 2} - 1$ 与 $g (x) = x^{2} - a e^{x}$ （e为自然对数的底数）互为“1度零点函数，则实数a的取值范围为（）.

A、 $(\frac{9}{e^{3}} ， \frac{4}{e^{2}}]$ B、 $(\frac{1}{e} ， \frac{4}{e^{2}}]$ C、 $[\frac{4}{e^{3}} ， \frac{2}{e})$ D、 $[\frac{4}{e^{3}} ， \frac{2}{e^{2}})$

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二、填空题

13. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 x})}^{8}$ 的展开式的常数项是．

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14. $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = 2$ ，则 $b \cdot \cos C + c \cdot \cos B$ 的值为.

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15. 设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A的坐标为 $(- 2, 0)$ ，直线 $x + 2 = k y (k > 0)$ 与C交于M，N两点， $\vec{A N} = 2 \vec{A M}$ ，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} =$ .

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16. 已知 $A$ ， $B$ 是函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - e^{x - 2 a} ， (x \geq a) \\ f (2 a - x) ， (x < a) \end{array}$ （其中常数 $a > 0$ ）图象上的两个动点，点 $P (a ， 0)$ ，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为0，则函数 $f (x)$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试，若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；

(2)、该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{3} = 3$ ， $S_{3} = 9$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} \frac{3}{a_{2 n + 3}}$ 且 ${b_{n}}$ 为递增数列，若 $c_{n} = \frac{4}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，求证： $T_{n} < 1$ .

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19. 如图，ABCD是平行四边形， $E A ⊥$ 平面ABCD， $P D ∥ E A$ ， $B D = P D = 2 E A = 4$ ， $A D = 3$ ， $A B = 5$ ，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

(1)、求证： $D B ⊥ G H$ ；

(2)、求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线 $x - y + \sqrt{6} = 0$ 相切，过点 $P (4, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若原点 $O$ 在以线段 $A B$ 为直径的圆内，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) + 1 (a < 0)$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上为增函数，求a的取值范围；

(2)、证明： $f (x) < e^{x} + c o s x$

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22. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （t为参数），圆C的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos (θ - \frac{π}{3})$

(1)、求直线l和圆C的直角坐标方程；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在圆C上，求 $\sqrt{3} x - y$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + \frac{2}{a} |$

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 1$ ；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + f (- x)$ 的最小值．

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