北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期数学抽样检测试卷

试卷更新日期：2019-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A ={x \in R|3x+2>0}$ ， $B={x \in R|(x+1)(x-3)>0}$ ，则 $A \cap^{} B$ =（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, - \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3}, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $\log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{10} = 1$ ，且 $a_{3} a_{6} a_{8} a_{11} = 16$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、4 B、2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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3. 已知命题 $p : \forall n \in N$ ， $2^{n} > \sqrt{n}$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall n \in N$ ， $2^{n} \leq \sqrt{n}$ B、 $\forall n \in N$ ， $2^{n} < \sqrt{n}$ C、 $\exists n \in N$ ， $2^{n} \leq \sqrt{n}$ D、 $\exists n \in N$ ， $2^{n} > \sqrt{n}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{8 \times 4^{x} - a}{2^{x}} (a \in R)$ 是奇函数， $g (x) = \ln (e^{x} + 1) - b x (b \in R)$ 是偶函数，则 $\log_{b} a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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5. 设点P是圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 上任一点，则点P到直线 $x - y - 1 = 0$ 距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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6. 设 ${a_{n}}$ 为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“ $p + q > k + l$ ”是“ $a_{p} + a_{q} > a_{k} + a_{l}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 $\frac{1}{2}$ ；②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $y = a (x - 2)$ 与黑色阴影部分有公共点；③当 $a \in [0 ， 1]$ 时，直线 $y = a (x - 2)$ 与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、② C、③ D、①②

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8. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为 $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，记第n个k边形数为 $N (n, k)$ $(k \geq 3)$ ，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 $N (n, 3) = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，

正方形数 $N (n, 4) = n^{2}$ ，

五边形数 $N (n, 5) = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n$ ，

六边形数 $N (n, 6) = 2 n^{2} - n$ ，

以此类推，下列结论错误的是（）

A、 $N (5, 4) = 25$ B、 $N (3, 7) = 18$ C、 $N (5, 10) = 145$ D、 $N (10, 24) = 1000$

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $α$ 的顶点与O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为 $\frac{1}{3}$ ．将角 $α$ 沿逆时针方向旋转 $β (β \in [\frac{π}{2}, π])$ 角后，得到角 $θ$ ，则（）

A、 $\sin θ$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$ ， $\sin θ$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ B、 $\sin θ$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\sin θ$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$ C、 $\cos θ$ 的最大值为 $- \frac{1}{3}$ ， $\cos θ$ 的最小值为 $- 1$ D、 $\cos θ$ 的最大值为 $- \frac{1}{3}$ ， $\cos θ$ 的最小值为 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $Ω$ 为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从 $Ω$ 中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 $M_{P}$ ， $N_{p}$ ．所有点 $M_{P}$ 构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为 $x (Ω)$ ；所有点 $N_{P}$ 构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为 $y (Ω)$ ．给出以下命题：
① $x (Ω)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ：② $x (Ω) + y (Ω)$ 的取值范围是 $[2 ， 2 \sqrt{2}]$ ；③ $x (Ω) - y (Ω)$ 恒等于0．

其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{m} = (- 1, 2)$ ， $\vec{n} = (1, λ)$ ．若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $\vec{m} + 2 \vec{n}$ 与 $\vec{m}$ 的夹角为．

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12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为，最长棱长为．

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13. 已知直线 $y = x + 2$ 与曲线 $y = \ln (x - a)$ 相切，则a的值为．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ - 2^{x} - a, x \leq 0 \end{array}$ 有且只有一个零点，则a的取值范围是．

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15. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，若对于任意的 $x_{1} \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，在区间 $[α ， β]$ 上总存在唯一确定的 $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $| α - β |$ 的最小值为．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x²＋y²＝r²(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足 $\vec{O C} = \frac{5}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O B}$ ，则r的值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $b = 3 \sqrt{2}$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $B = A + \frac{π}{2}$ ．
（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求 $\cos 2 C$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{2} = 5$ ， $a_{4} = 9$ ，数列 ${b_{n} + a_{n}}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = 3$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = 2 A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $F$ 为 $B C$ 中点， $E F / / A B$ ， $E F$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ，沿 $E F$ 将四边形 $E F C D$ 折起，连接 $A D ， B C ， A C$ ．

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若平面 $A B F E ⊥$ 平面 $E F C D$ ．
（I）求二面角 $B - A C - D$ 的平面角的大小；

（II）线段 $A C$ 上是否存在点 $P$ ，使 $F P ⊥$ 平面 $A C D$ ，若存在，求出 $\frac{A P}{A C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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20. 已知点E在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点 $F_{2}$ ，与y轴相交于A，B两点，且 $Δ A B E$ 是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{18}{5}$ ，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以 $M N$ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出 $| P M | \cdot | P N |$ 的值；若不过定点，请说明理由．

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21. 设函数 $f (x) = x + a (e^{2 x} - 3 e^{x} + 2)$ ，其中 $a \in R$ ．
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 的极值点的个数；

（Ⅲ）若 $f (x)$ 在y轴右侧的图象都不在x轴下方，求实数a的取值范围．

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22. 已知数列 ${x_{n}}$ ，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有 $(x_{n + 1} - p) (x_{n} - p) < 0$ 成立，那么我们称数列 ${x_{n}}$ 为“p-摆动数列”．
（Ⅰ）设 $a_{n} = 2 n - 1$ ， $b_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，判断 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 是否为“p-摆动数列”，并说明理由；

（Ⅱ）已知“p-摆动数列” ${c_{n}}$ 满足 $c_{n + 1} = \frac{1}{c_{n} + 1}$ ， $c_{1} = 1$ ，求常数p的值；

（Ⅲ）设 $d_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot (2 n - 1)$ ，且数列 ${d_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证：数列 ${S_{n}}$ 是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

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