安徽省示范高中2019-2020学年高二上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2019-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} < 4 x + 5$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ C、 $(- 1, 5)$ D、 $(- 5, 1)$

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2. 直线 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为 $54 π$ ，则该圆柱的侧面积为（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $54 π$ D、 $81 π$

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4. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（）

A、5个 B、8个 C、10个 D、12个

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5. 设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $m$ ， $n$ 为两条不同的直线，则下列判断正确的是（）

A、若 $n ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ∥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$

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6. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边. 已知 $a \sin A = 2 b \cos A \cos C + 2 c \cos A \cos B$ ，则 $\tan A =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\frac{V_{B_{1} - A B C_{1}}}{V_{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 把边长为2的正 $Δ A B C$ 沿 $B C$ 边上的高线 $A D$ 折成直二面角，则点 $A$ 到 $B C$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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9. 某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为（）

A、 $\frac{16}{36}$ B、 $\frac{17}{36}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{19}{36}$

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10. 在四面体 $P A B C$ 中， $P C ⊥ P A$ ， $P C ⊥ P B$ ， $A P = B P = A B = 2 P C = 2$ ，则四面体 $P A B C$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{19 π}{3}$ B、 $\frac{19 π}{12}$ C、 $\frac{17 π}{12}$ D、 $\frac{17 π}{3}$

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11. 已知 $a, b \in (0, + \infty)$ ，且 $1 + \frac{2}{a b} = \frac{9}{a + b}$ ，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 9]$ B、 $[1, 8]$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $[9, + \infty)$

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二、多选题

12. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 B C$ 的中点将 $△ A D E ， Δ C D F ， △ B E F$ 分别沿 $D E 、 D F 、 E F$ 折起，使 $A 、 B 、 C$ 重合于点 $P$ .则下列结论正确的是（）

A、 $P D ⊥ E F$ B、平面 $P D E ⊥ 平面 P D F$ C、二面角 $P - E F - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、点 $P$ 在平面 $D E F$ 上的投影是 $Δ D E F$ 的外心

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 10$ ，则公比 $q =$ .

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14. 如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $P A$ ， $C D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为．

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15. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2 \sqrt{2} A B$ ． $E$ 为棱 $B C$ 上的动点，若 $P E + D E$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ ，则 $P B =$ ．

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16. 为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，则 $x =$ ，估计该地学生跳绳次数的中位数是.

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四、解答题

17. 已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 是底 $A B C D$ 对角线的交点.求证：

(1)、 $C_{1} O / /$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ；

(2)、 $A_{1} C ⊥$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前三项分别为 $2 a$ ，1， $a + 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B_{1} C = 1$ ， $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离.

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20. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = 3 C D$ ， $∠ D A B = 45 °$ ，且 $D E ⊥ A B$ ， $C F ⊥ A B$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，将梯形 $A B C D$ 沿着 $D E$ 和 $C F$ 翻折使得 $A$ ， $B$ 两点重合于点 $P$ .

(1)、证明：平面 $P F C ⊥$ 平面 $P E F$ .

(2)、若四棱锥 $P - E F C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求该四棱锥的侧面积.

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21. 如图，在五面体 $A B C D F E$ 中，侧面 $A B C D$ 是正方形， $Δ A B E$ 是等腰直角三角形，点 $O$ 是正方形 $A B C D$ 对角线的交点 $E A = E B$ ， $A D = 2 E F = 6$ 且 $E F / / A D$ .

(1)、证明： $O F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若侧面 $A B C D$ 与底面 $A B E$ 垂直，求五面体 $ABCDFE$ 的体积.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 是棱 $P C$ 上一点．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若 $P E = 4 E C$ ， $O$ 为点 $E$ 在平面 $P A B$ 上的投影， $A D = \sqrt{3}$ ， $A B = A P = 2 C D = 2$ ，求四棱锥 $P - A D E O$ 的体积．

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