吉林省长春市绿园区2018-2019学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-12-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 ${(- \sqrt{3})}^{2}$ 的结果是（）

A、-3 B、3 C、 $\pm 3$ D、9

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2. 计算 $\cos 60^{\circ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 下列二次根式，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{27}$

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4. 用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（）

A、 $x^{2}$ -2x=5 B、 $x^{2}$ +4x=5 C、 $x^{2}$ +2x=5 D、2 $x^{2}$ -4x=5

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5. 一元二次方程4x²+1=3x的根的情况是（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 如图所示，在等边三角形 $A B C$ 中， $P$ 为 $B C$ 边上一点， $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $∠ A P D = 60^{\circ}$ ， $B P = 1$ ， $C D = \frac{2}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的边长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $c > 0$ B、 $b > 0$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $b = - 2 a$

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{6} \times \sqrt{24} =$

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10. 计算；sin30° $\cdot$ tan30°+cos60° $\cdot$ tan60°＝．

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11. 如图所示，在平面直角坐标系中， $∠ B O C = 150^{\circ}$ ， $O C = 2$ ，则 $C$ 点的坐标是．

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12. 要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为 $\frac{3}{5}$ ，那么截成的两段铜丝的长度差应是m．

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13. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=米．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a_{1} {(x - 1)}^{2} + k_{1} (a_{1} > 0)$ 与抛物线 $y = a_{2} {(x - 2)}^{2} + k_{2} (a_{2} < 0)$ 都经过 $y$ 轴正半轴上的点 $A$ .过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，分别与这两条抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点，以 $B C$ 为边向下作等边 $Δ B C D$ ，则 $Δ B C D$ 的周长为．

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三、解答题

15. 解方程： $x^{2} + 4 x = 2$

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16. 计算： $\sqrt{3} (\sqrt{12} - \sqrt{3}) - \sqrt{2} \cdot sin 45^{°}$ ．

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17. 如图是一副扑克牌的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．

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18. 如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．

(1)、在图中画出△DEF；

(2)、点E是否在直线OA上？为什么？

(3)、△OAB与△DEF位似图形（填“是”或“不是”）

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19. 小明在解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时出现了错误，其解答过程如下：
解： $x^{2} - 2 x = - 1$ （第一步）

$x^{2} - 2 x + 1 = - 1 + 1$ （第二步）

${(x - 1)}^{2} = 0$ （第三步）

$x_{1} = x_{2} = 1$ （第四步）

(1)、小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.

(2)、请写出此题正确的解答过程.

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20. 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）

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21. 小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a $x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．

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22.

(1)、探究：如图①，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，点 $C$ 在 $l_{2}$ 上，以点 $C$ 为直角顶点作 $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，角的两边分别交 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 于点 $A$ 、 $B$ ，连结 $A B$ .过点 $C$ 作 $C D ⊥ l_{1}$ 于点 $D$ ，延长 $D C$ 交 $l_{3}$ 于点 $E$ .

求证： $Δ A C D ∽ Δ C B E$ .

(2)、应用：如图②，在图1的基础上，设 $A B$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $F$ ，若 $A C = B C$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为2， $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 之间的距离为1，求 $A F$ 的长度.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ 、 $B$ .点 $C$ 的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点且交 $y$ 轴于点 $D$ .点 $P$ 为 $x$ 轴上一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $A B$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $Q$ ，连结 $D Q$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m (m \neq 0)$ .

(1)、求点A的坐标.

(2)、求抛物线的表达式.

(3)、当以 $B$ 、 $D$ 、 $Q$ 、 $M$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $m$ 的值.

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24. 定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．
例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．

(1)、设三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是，推断的数学依据是．

(2)、如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB= $3 \sqrt{2}$ ，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．

(3)、如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．

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