四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期文数期中联考试卷

试卷更新日期：2019-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 1, 3)$ ， $B (- 4, 3, 0)$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 < 0$ B、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$

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3. 若命题 $p$ 是真命题， $\neg q$ 是真命题，则下列命题中，真命题是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \lor q$ C、 $\neg p \land \neg q$ D、 $p \lor q$

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{100} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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5. 若圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2}$ 外切，则正数 $r$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. “ $c = 1$ ”是“直线 $x + y + c = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ ”相切的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右顶点分别为 $A_{1} (- a, 0)$ ， $A_{2} (a, 0)$ ，点 $B (0, b)$ ，若三角形 $B A_{1} A_{2}$ 为等腰直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知过点(1，-2)的直线 $l$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则弦长 $| A B |$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[3, 5]$ C、 $[8, 10]$ D、 $[6, 10]$

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9. 经过点 $P (1, 1)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $P$ 为 $M N$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ （ $M$ 为圆心），点 $N (- 2 ， 0)$ ，点 $A$ 是圆 $M$ 上的动点，线段 $A N$ 的垂直平分线交线段 $A M$ 于 $P$ 点，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、两条直线 B、椭圆 C、圆 D、双曲线

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11. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，连接 $P F_{2}$ ， $Q F_{2}$ ，若三角形 $P Q F_{2}$ 的周长为 $20$ ， $∠ Q P F_{2} = 90 °$ ，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $9$ B、 $18$ C、 $25$ D、 $50$

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12. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ， $A$ ， $B$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点.若动点 $P$ 在直线 $x + y = 0$ 上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{14} - 3$ D、 $\sqrt{13} - 3$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{k} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的其中一个焦点坐标为 $(\sqrt{6}, 0)$ ，则实数 $k =$ .

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14. 两圆 $x^{2} + y^{2} - 2 = 0$ ， $x^{2} + y^{2} - x - y = 0$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，则公共弦 $M N$ 所在的直线的方程是.（结果用一般式表示）

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15. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，动点 $M$ 在椭圆上，则 $| M F |$ 的取值范围是.

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16. 给出下列说法:①方程 $\sqrt{x + 1} + {(y - 1)}^{2} = 0$ 表示的图形是一个点;②命题“若 $x + y \neq 0$ ，则 $x \neq - 1$ 或 $y \neq 1$ ”为真命题;③已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有两点 $A (x_{0}, y_{0})$ ， $B (- x_{0}, - y_{0})$ ，若点 $P (x, y)$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，且 $x \neq \pm x_{0}$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值 $- \frac{b^{2}}{a^{2}}$ .
其中说法正确的序号是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： y = 2 x + 4$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $(1 ， 1)$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、记 $l_{1}$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $C$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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18. 命题 $p :$ 方程 $\frac{x^{2}}{3 m - 1} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线;命题 $q :$ 若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $m - 2 \sin x_{0} = 0$ 成立.

(1)、如果命题 $p$ 是真命题，求实数 $m$ 的取值范围;

(2)、如果“ $p \land q$ ”为假命题，“ $p \lor q$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知圆 $C$ 经过 $M (3, 0)$ ， $N (2, 1)$ 两点，且圆心在直线 $l : 2 x + y - 4 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程

(2)、从原点向圆 $C$ 作切线，求切线方程及切线长.

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20. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2.

(1)、若 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，求 $b$ 的值；

(2)、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，求 $C$ 的标准方程.

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21. 已知直线 $l_{1} : x + m y = 0 (m \in R)$ ， $l_{2} : m x - y - 2 m + 4 = 0 (m \in R)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别经过定点 $M$ ， $N$ ，求定点 $M$ ， $N$ 的坐标;

(2)、是否存在一个定点 $Q$ ，使得 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点到定点 $Q$ 的距离为定值?如果存在，求出定点 $Q$ 的坐标及定值 $r$ ;如果不存在，说明理由.

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22. 已知椭圆 $C$ 长轴的两个端点分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、作一条垂直于 $x$ 轴的直线，使之与椭圆 $C$ 在第一象限相交于点 $M$ ，在第四象限相交于点 $N$ ，若直线 $A M$ 与直线 $B N$ 相交于点 $P$ ，且直线 $O P$ 的斜率大于 $\frac{2}{5}$ ，求直线 $A M$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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