江苏省南京市2017年高考数学三模考试试卷

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁_U（A∪B）= ．

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2. 甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．

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3. 若复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 3 + 2 i$ ，其中i为虚数单位， $\bar{z}$ 为复数z的共轭复数，则复数z的模为．

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4. 执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．

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5. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．

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6. 在同一直角坐标系中，函数 $y = s i n (x + \frac{π}{3}) (x \in [0 ， 2 π))$ 的图象和直线y= $\frac{1}{2}$ 的交点的个数是．

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7. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{2 m^{2}} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1$ 的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是．

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8. 已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时， $f (x) = | l o g_{4} (x - \frac{3}{2}) |$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为．

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9. 若等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₃﹣a₁=2，则a₅的最小值为．

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10. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，BB₁=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB₁上的动点，当AD+DC₁最小时，三棱锥D﹣ABC₁的体积为．

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11. 函数f（x）=e^x（﹣x²+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．

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12. 在凸四边形ABCD中，BD=2，且 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ ， $(\vec{A B} + \vec{D C}) \cdot (\vec{B C} + \vec{A D}) = 5$ ，则四边形ABCD的面积为．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=1，圆M：（x+a+1）²+（y﹣2a）²=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．

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14. 已知a，b，c为正实数，且 $a + 2 b \leq 8 c ， \frac{2}{a} + \frac{3}{b} \leq \frac{2}{c}$ ，则 $\frac{3 a + 8 b}{c}$ 的取值范围为．

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二、解答题

15. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．

(1)、求证：EF∥平ABD面；

(2)、若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (2 c o s α ， s i n^{2} α) ， \vec{b} = (2 s i n α ， t) ， α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t$ 为实数．

(1)、若 $\vec{a} - \vec{b} = (\frac{2}{5} ， 0)$ ，求t的值；

(2)、若t=1，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为 $400 \sqrt{3}$ 平方米，设∠BAC=θ．

(1)、求BC的长（用含θ的式子表示）；

(2)、若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2} b^{2}$ ．．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证：k₁•k₂为定值．

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19. 已知常数p＞0，数列{a_n}满足a_n+1=|p﹣a_n|+2a_n+p，n∈N*．

(1)、若a₁=﹣1，p=1，
①求a₄的值；
②求数列{a_n}的前n项和S_n；

(2)、若数列{a_n}中存在三项a_r ， a_s ， a_t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求 $\frac{a_{1}}{p}$ 的取值范围．

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20. 已知λ∈R，函数f（x）=e^x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．

(1)、求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

(2)、若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；

(3)、若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

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