2017年湖南省湘潭市高考数学二模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x| $\sqrt{x}$ ＞2}，B={x|1＜x＜5}，则A∩B等于（）

A、（1，4） B、（4，5） C、（1，5） D、（5，+∞）

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2. 设复数z=3+i，且iz=a+bi（a，b∈R），则a+b等于（）

A、﹣4 B、﹣2 C、2 D、4

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3. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 1 - 2^{x} ， x \leq 0 \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则f[f（﹣1）]等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知e为自然对数的底，a=（ $\frac{2}{e}$ ）^﹣0.2 ， b=（ $\frac{e}{2}$ ）^0.4 ， c= $l o g_{\frac{2}{e}} e$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、c＜a＜b B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、a＜b＜c

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5. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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6. 若tanα﹣ $\frac{1}{t a n α} = \frac{3}{2} ， α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则cos2α的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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7. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）

A、100，8 B、80，20 C、100，20 D、80，8

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8. 已知曲线f（x）= $\frac{a x^{2}}{x + 1}$ 在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则实数a的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0， $\frac{π}{2}$ ），则下列关于函数g（x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）

A、g（x）在区间[﹣ $\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}$ ]上的最小值为﹣1． B、g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到． C、g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到． D、g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到．

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10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）

A、40+8 $\sqrt{2}$ +4 $\sqrt{6}$ B、40+8 $\sqrt{3}$ +4 $\sqrt{6}$ C、48+8 $\sqrt{3}$ D、48+8 $\sqrt{2}$

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11. 半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）

A、16（ $π - \sqrt{3}$ ） B、16（ $π - \sqrt{2}$ ） C、8（2 $π - 3 \sqrt{2}$ ） D、8（2 $π - \sqrt{3}$ ）

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12. 如图，F₁ ， F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（1， $\sqrt{3}$ ），若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（3，2）， $\vec{b}$ =（m，﹣4），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数m= ．

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14. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 1 \\ y \leq 2 x - 1 \\ x + y \leq 8 \end{matrix}$ ，则z=x+y的最小值为．

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15. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A= $\frac{2 π}{3}$ ，b= $\sqrt{2}$ ，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，则a的值为．

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16. 点N是圆（x+5）²+y²=1上的动点，以点A（3，0）为直角顶点的Rt△ABC另外两顶点B、C，在圆x²+y²=25上，且BC的中点为M，则|MN|的最大值
为．

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三、解答题

17. 在数列{a_n}中，a₂= $\frac{2}{3}$ ．

(1)、若数列{a_n}满足2a_n﹣a_n+1=0，求a_n；

(2)、若a₄= $\frac{4}{7}$ ，且数列{（2n﹣1）a_n+1}是等差数列，求数列{ $\frac{n}{a_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 如图，在三棱锥ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求证：AB₁⊥CC₁；

(2)、若AB₁=3 $\sqrt{2}$ ，D₁为线段A₁C₁上的点，且三棱锥C﹣B₁C₁D₁的体积为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{A_{1} D_{1}}{C_{1} D_{1}}$ ．

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19. 2016年二十国集团领导人峰会（简称“G20峰会”）于9月4日至5日在浙江杭州召开，为保证会议期间交通畅通，杭州市已发布9月1日至7日为“G20峰会”调休期间．据报道对于杭州市民：浙江省旅游局联合11个市开展一系列旅游惠民活动，活动内容为：“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”，某旅游公司为了解群众出游情况，拟采用分层抽样的方法从有意愿“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中抽取7人进行某项调查，已知有意愿参加“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”的群众分别有360，540，360人．

(1)、求从“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”，三个区域旅游的群众分别抽取的人数；

(2)、若从抽得的7人中随机抽取2人进行调查，用列举法计算这2人中至少有1人有意愿参加“本省游”的概率．

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20. 已知过点A（0，1）的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂ ， B为椭圆上的任意一点，且 $\sqrt{3}$ |BF₁|，|F₁F₂|， $\sqrt{3}$ |BF₂|成等差数列．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．

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21. 设函数f（x）= $\frac{2}{x}$ ﹣2+2alnx．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若f（x）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，2]上的最小值为0，求实数a的值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + t \\ y = \sqrt{3} t \end{matrix} (t 为参数)$ ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} s i n θ$ ．

(1)、写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；

(2)、点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

(1)、当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；

(2)、设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．

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