2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x= $\sqrt{n}$ ，n∈A}．则A∩B=（）

A、{1，2，3} B、{x|1＜x＜3} C、{2，3} D、{x|1＜x＜ $\sqrt{10}$ }

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2. 欧拉公式e^ix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若 $z = e^{\frac{π}{3} i}$ ，则复数z²在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知命题p，∀x∈R都有2^x＜3^x ，命题q：∃x₀∈R，使得 $x_{0}^{3} = 1 - x_{0}^{2}$ ，则下列复合命题正确的是（）

A、p∧q B、￢p∧q C、p∧￢q D、（￢p）∧（￢q）

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）

A、y=±2x B、y=± $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x C、y=± $\sqrt{3}$ x D、y=± $\frac{1}{2}$ x

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5. 已知等比数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{2} ， a_{2} a_{8} = 2 a_{5}$ +3，则a₉=（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、648 D、18

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6. 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{B N}$ ，则λ+μ的值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、1 D、﹣1

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7. 若实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} y \geq 2 | x | - 1 \\ y \leq x + 1 \end{matrix}$ ，则z=x+y的最大值为（）

A、﹣1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、5 D、﹣5

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8. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x²+y²=25内的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知函数f（x）= $\frac{2^{x}}{2^{x} + 1}$ +ax（a∈R），若f（ln3）=3，则f（ln $\frac{1}{3}$ ）=（）

A、﹣2 B、﹣3 C、0 D、1

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{π + 1}{3}$ D、 $\frac{2 π + 1}{3}$

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11. 将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，当x₁ ， x₂满足时，|f（x₁）﹣g（x₂）|=2， $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{3}$ ，则φ的值为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12. 若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[﹣1，1]，使得m+x²e^x﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）

A、[1，e] B、 $(1 + \frac{1}{e} ， e]$ C、（0，e] D、 $[1 + \frac{1}{e} ， e]$

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二、填空题

13. “a= $\frac{1}{5}$ ”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）

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14. 已知函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则a= ， b= ．

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15. 已知P是抛物线y²=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）²+（y﹣3）²=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是．

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16. 如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20 $\sqrt{2}$ ，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP= ．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1= $\frac{3 a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 是等差数列，并求{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n=a₁a₂•…•a_n ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和S_n ．

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18. 在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为平行四边形，AA₁⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA₁= $\sqrt{6}$ ，E为A₁B₁的中点．

(1)、求证：平面A₁BD⊥平面A₁AD；

(2)、求多面体A₁E﹣ABCD的体积．

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19. 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：

(1)、试由此图估计该公司员工的月平均工资；

(2)、该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？

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20.
已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 $\frac{1}{2}$ （O为坐标原点）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣asinx﹣1，a∈R．

(1)、若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；

(2)、若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与曲线C相交于A，B两点．

(1)、写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)、若|AP|•|BP|=|BA|² ，求m的值．

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23. 设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M

(1)、证明：|a+ $\frac{1}{2}$ b|＜ $\frac{3}{4}$ ；

(2)、比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．

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