2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 计算： $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 3 n + 2}$ = ．

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2. 设集合S={x| $\frac{x - 3}{x - 6}$ ≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= ．

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3. 已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．

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4. 若抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

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5. 二项式（x²+ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中含x⁴的项的系数是（用数字作答）．

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6. 已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= ．

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7. 方程log₂（4^x﹣3）=x+1的解集为．

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8. 已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x₀∈R，使得f（x₀+2）﹣f（x₀）=4，则ω的最小值为．

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9. 若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ ，则该正四棱锥的体积为．

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10. 从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．

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11. 已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足 $\vec{B E}$ • $\vec{B C}$ =2 $\vec{B F}$ • $\vec{B C}$ =3，则 $\vec{B E}$ • $\vec{C F}$ = ．

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x + a | + | x - 1 | ， & x > 0 \\ x^{2} - a x + 2 ， & x \leq 0 \end{matrix}$ 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．

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二、选择题

13. “a＞1“是“ $\frac{1}{a}$ ＜1“的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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14. 如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）

A、y=x+f（x） B、y=xf（x） C、y=x²+f（x） D、y=x²f（x）

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15. 已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n ，则下列结论正确的是（）

A、若a₁+a₂＞0，则a₁+a₃＞0 B、若a₁+a₃＞0，则a₁+a₂＞0 C、若a₁＞0，则S₂₀₁₇＞0 D、若a₁＞0，则S₂₀₁₆＞0

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16. 已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）

A、{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B、{（λ，μ）|λ+μ=2} C、{（λ，μ）|λ²﹣μ²=2} D、{（λ，μ）|λ²+μ²=2}

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三、解答题

17. 如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA₁=CD=2．E为棱DD₁的中点．

(1)、证明：B₁C₁⊥平面BDE；

(2)、求二面角D﹣BE﹣C₁的大小．

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18. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ），其部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{4}) \cdot f (x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值及相应的x值．

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19. 经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y₁吨，y₁=ax+ $\frac{7}{2}$ a²﹣a（a＞0）：月需求量为y₂吨，y₂=﹣ $\frac{1}{224}$ x²﹣ $\frac{1}{112}$ x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．

(1)、已知a= $\frac{1}{7}$ ，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；

(2)、记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．

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20. 如图，由半圆x²+y²=r²（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x²﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．

(1)、求a、r的值；

(2)、设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；

(3)、过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n= ${\begin{matrix} 2 a_{\frac{n}{2}} + 1 ， n 为偶数 \\ \frac{1}{2} + 2 a_{\frac{n - 1}{2}} ， n 为奇数 \end{matrix}$ ，n=2，3，4，…．

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄ ， a₅的值；

(2)、设b_n= $a_{2^{n - 1}}$ +1，n∈N*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；

(3)、对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a_n}中是否存在连续的2^m项构成等差数列？若存在，写出这2^m项，并证明这2^m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．

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