2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 不等式 $\frac{x - 2}{x - 1}$ ≥2的解集是：．

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2. （1﹣2x）⁵的二项展开式中各项系数的绝对值之和为．

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3. 函数f（x）=（x﹣1）² ，（x≤0）的反函数是．

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4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n= ${\begin{matrix} \frac{1}{n} ， n = 1 ， 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{n} ， n \geq 3 \end{matrix}$ ，n∈N*，其前n项和为S_n ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m}$ S_n= ．

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5. 如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．

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6. 若复数z满足|z|=1，则|（ $\bar{z}$ +i）（z﹣i）|的最大值是．

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7. 已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域 ${\begin{matrix} x + y \geq 2 \\ x < 1 \\ y \leq 2 \end{matrix}$ 内的一个动点，则 $\vec{O A}$ • $\vec{O M}$ 的取值范围是．

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8. 现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是．

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9. 若数列{a_n}满足a₁=12，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²a_n ，则a₂₀₁₇= ．

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10. 已知曲线 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ ，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为 $\frac{3}{4}$ ，则a= ．

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11. 设集合A={（x，y）|y=x²+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）²+（y﹣b）²≤1}，则点P所在的区域的面积为．

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12. 已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）= $\frac{1}{4}$ ，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）= ．

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二、选择题

13. 若样本平均数为 $\bar{x}$ ，总体平均数为μ，则（）

A、 $\bar{x}$ =μ B、 $\bar{x}$ ≈μ C、μ是 $\bar{x}$ 的估计值 D、 $\bar{x}$ 是μ的估计值

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14. 如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$

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15. “﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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16. 已知函数f（x）=ax²+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（）

A、任意m∈A，都有f（m+3）＞0 B、任意m∈A，都有f（m+3）＜0 C、存在m∈A，都有f（m+3）=0 D、存在m∈A，都有f（m+3）＜0

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三、解答题

17. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．

(1)、求证：PA⊥BD；

(2)、若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．

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18. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin²x+sinxcosx﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求函数y=f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的单调递增区间；

(2)、将函数y=f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x₀ ，使得g（x₀）＞ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

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19. 如图，已知直线l：x+ $\sqrt{3}$ y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．

(1)、如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；

(2)、若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？

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20. 数列{a_n}的前n项a₁ ， a₂ ， …，a_n（n∈N*）组成集合A_n={a₁ ， a₂ ， …，a_n}，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A₁={1}，T₁=1；n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1•3；

(1)、若集合A_n={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T₁ ， T₂ ， T₃的值；

(2)、若集合A_n={1，3，7，…，2ⁿ﹣1}，证明：n=k时集合A_k的T_m与n=k+1时集合A_k₊₁的T_m（为了以示区别，用T_m′表示）有关系式T_m′=（2^k⁺¹﹣1）T_m_﹣₁+T_m ，其中m，k∈N*，2≤m≤k；

(3)、对于（2）中集合A_n ．定义S_n=T₁+T₂+…+T_n ，求S_n（用n表示）．

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21. 已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x₁＜x₂＜x₃≤n，满足|F（x₁）|=M（a，b），F（x₂）=﹣F（x₁）．F（x₃）=F（x₁），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．

(1)、验证：y=4x﹣1是g（x）=2x² ， x∈[0，2]的“逼近函数”；

(2)、已知f（x）= $\sqrt{x}$ ，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，求a，b的值；

(3)、已知f（x）= $\sqrt{x}$ ，x∈[0，4]的逼近确界为 $\frac{1}{4}$ ，求证：对任意常数a，b，M（a，b）≥ $\frac{1}{4}$ ．

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