贵州省安顺市2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2019-12-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 n + 2, n \in Z}, B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1, 2}$ C、 ${- 1}$ D、 ${2}$

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2. $\frac{5 i}{3 - 4 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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3. 2019年篮球世界杯中，两位队员每场比赛得分的茎叶图如图所示，若甲得分的众数是18，乙得分的中位数是15，则 $x + y =$ （）

A、 15 B、8 C、13 D、33

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4. 已知向量 $\vec{a} = (4, 2), \vec{b} = (m + 2, 6)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、7 B、8 C、 $\sqrt{65}$ D、9

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5. 已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}, b = {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{3} \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 \ln x - x^{2} + 2 f^{'} (2) x$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 执行下面的程序框图，若输入的 $A = 1$ ，则输出的 $A$ 的值为（）

A、7 B、-17 C、31 D、-65

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos 2 x$ ，要得到 $g (x) = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $B C ， C D$ 的中点， $G$ 是 $E F$ 的中点.现在沿 $A E ， A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形，使 $B ， C ， D$ 三点重合，重合后的点记为 $H$ ，下列说法：

① $A G ⊥$ 平面 $E F H$ ；② $A H ⊥$ 平面 $E F H$ ；

③ $H F ⊥$ 平面 $A E H$ ；④ $H G ⊥$ 平面 $A E F$ .

其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 m$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，动点 $P$ 从点 $D$ 出发，沿 $D A - A B - B C - C D$ 运动，最后返回 $D$ .已知 $P$ 的运动速度为 $1 m / s$ ，那么三棱锥 $P - E C_{1} D_{1}$ 的体积 $y$ （单位： $m^{3}$ ）关于时间 $x$ （单位： $s$ ）的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = b x - b^{2} - \frac{1}{4} (b > 0 ， x \in R)$ ，若 ${(m + 1)}^{2} + {(n + 1)}^{2} = 2$ ，则 $\frac{f (n)}{f (m)}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， 2]$ B、 $[\sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3}]$ C、 $[2 - \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $[2 - \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3}]$

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二、填空题

13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为.

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14. 过直线 $2 x + 3 y = 0$ 上的任意一点作圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 的切线，则切线长的最小值为.

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15. 五个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为.

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 满足平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 4$ ， $∠ A P B = 30 °$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生（其中男、女生人数之比为2：1）进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间（单位：分钟）分为 $[0 ， 10) ， [10 ， 20) ， [20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50]$ 5组，得到如图所示的频率分布直方图（所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟）.

(1)、求出女生组频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $C = 2 A, a + b = 9 \sqrt{7}, \cos A = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $\frac{c}{a}$ 的值；

(2)、求 $c$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{4}{3} a_{n} - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n + 1$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ B C ， B D = B C = 2 ， A B = A D = \sqrt{5}$ ，二面角 $A - B D - C$ 的大小为120°，点 $E$ 在棱 $A C$ 上，且 $C E = 2 E A$ ，点 $G$ 为 $Δ B C D$ 的重心.

(1)、证明： $G E / /$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + (1 - k) x + 1$ .

(1)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、证明： $\forall n \geq 2 ， n \in N$ ， $\ln 5 + \ln 11 + \dots + \ln (n^{2} + n - 1) > n - 2 + \frac{2}{n + 1}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{\sqrt{3}}{3} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} t \end{matrix}$ （其中 $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos^{2} θ = 3 \sin θ$ .

(1)、求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (0, 2)$ ，直线 $C_{1}$ 交曲线 $C_{2}$ 于 $M, N$ 两点，求 ${| P M |}^{2} + {| P N |}^{2}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq α | 2 x + 1 |$ 的解集包含 $[3, 5]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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