2017年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 集合A={x|x²﹣2x＜0}，B={x|x﹣2＜0}，则（）

A、A∩B=∅ B、A∩B=A C、A∪B=A D、A∪B=R

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2. 已知复数z满足（1+i）z=3+i，其中i是虚数单位，则|z|=（）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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3. 下列函数中既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）

A、y=cosx B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、y=2^|x| D、y=|lgx|

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ x + 3 \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最大值为（）

A、﹣8 B、﹣6 C、﹣2 D、4

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若| $\vec{a}$ |= $\sqrt{3}$ ，| $\vec{b}$ |=2， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{π}{6}$ ，且（ $\vec{a}$ ﹣m $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，则m=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₃+a₅=4，S₁₅=60则a₂₀=（）

A、4 B、6 C、10 D、12

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7. 一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x、y、z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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8. 已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A、64π B、68π C、72π D、100π

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0) ， x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 的图象如图所示，若f（x₁）=f（x₂），且x₁≠x₂ ，则f（x₁+x₂）=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、24 B、48 C、72 D、96

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A₁、A₂ ， M是双曲线上异于A₁、A₂的任意一点，直线MA₁和MA₂分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、 $(1 ， \sqrt{2}]$

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12. 若对任意的实数a，函数f（x）=（x﹣1）lnx﹣ax+a+b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣1] B、（﹣∞，0） C、（0，1） D、（0，+∞）

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二、填空题：

13. 以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（1，2），则 $t a n (θ + \frac{π}{4})$ = ．

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14. 已知直线l：x+my﹣3=0与圆C：x²+y²=4相切，则m= ．

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15. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图，是解决这类问题的程序框图，若输入n=40，则输出的结果为．

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16. 若数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，b_n+1=﹣a_n ， a_n+1=3a_n+2b_n ， n∈N^* ．则a₂₀₁₇﹣a₂₀₁₆= ．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b= $\sqrt{3}$ asinB+bcosA，c=4．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D是BC的中点，AD= $\sqrt{7}$ ，求△ABC的面积．

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18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E为A₁C₁的中点， $\frac{C C_{1}}{C_{1} E} = \sqrt{2}$
（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若AA₁= $\sqrt{6}$ ，∠BAC=30°，求点E到平面AB₁C的距离．

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19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．
x（个）
2
3
4
5
6
y（百万元）
2.5
3
4
4.5
6
（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程y= $\hat{b} x + a$ ；
（Ⅱ）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间的关系为z=y﹣0.05x²﹣1.4，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？
参考公式： $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+a， $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{} (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，a= $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知圆C：（x﹣1）²+y²= $\frac{1}{4}$ ，一动圆与直线x=﹣ $\frac{1}{2}$ 相切且与圆C外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

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21. 设函数f（x）=xe^x﹣ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当f（x）＞0时，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．

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22. 在极坐标系中，点 $A (\sqrt{3} ， \frac{π}{6}) ， B (\sqrt{3} ， \frac{π}{2})$ ，曲线 $C ： ρ = 2 c o s (θ - \frac{π}{3}) (ρ \geq 0)$ ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|²+|MB|²取值范围．

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四、[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a²|，a∈R．
（Ⅰ）若f（a）≤2|1﹣a|，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1存在实数解，求实数a的取值范围．

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x（个）	2	3	4	5	6
y（百万元）	2.5	3	4	4.5	6