2017年广东省汕头市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x∈N|x＜3}，B={x|x=a﹣b，a∈A，b∈A}，则A∩B=（）

A、{1，2} B、{﹣2，﹣1，0，1，2} C、{1} D、{0，1，2}

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2. 已知 $\bar{z}$ 是z的共轭复数，且|z|﹣ $\bar{z}$ =3+4i，则z的虚部是（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $- \frac{7}{6}$ C、4 D、﹣4

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3. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₇﹣S₅=24，a₃=5，则S₇=（）

A、25 B、49 C、15 D、40

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4. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 2.4$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）
广告费用x（万元）
2
3
4
5
6
销售轿车y（台数）
3
4
6
10
12

A、17 B、18 C、19 D、20

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6. 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）

A、40 B、60 C、80 D、100

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} m l o g_{2017} x + 3 s i n x ， x > 0 \\ l o g_{2017} (- x) + n s i n x ， x < 0 \end{matrix}$ 为偶函数，则m﹣n=（）

A、4 B、2 C、﹣2 D、﹣4

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8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）

A、1.2 B、1.6 C、1.8 D、2.4

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9. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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10. 动点A（x，y）在圆x²+y²=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A₀（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（）

A、 $y = s i n (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$ B、 $y = c o s (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ C、 $y = s i n (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ D、 $y = c o s (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$

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11. 记不等式 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 所表示的平面区域为D，若对任意（x₀ ， y₀）∈D，不等式x₀﹣2y₀+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）

A、（﹣∞，4] B、（﹣∞，2] C、[﹣1，4] D、（﹣∞，﹣1]

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12. 已知函数f（x）=（x²﹣3）e^x ，设关于x的方程 $f^{2} (x) - m f (x) - \frac{12}{e^{2}} = 0 (m \in R)$ 有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）

A、3 B、1或3 C、4或6 D、3或4或6

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二、填空题

13. （（x﹣y）¹⁰的展开式中，x⁷y³的系数与x³y⁷的系数之和等于．

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14. 已知 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 4 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的取值范围是．

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15. 已知cos²α=sinα，则 $\frac{1}{s i n α} + c o s^{4} α$ = ．

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16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a_n}，则此数列的项数为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $s i n (A - B) = 2 s i n^{2} (\frac{C}{2} - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求sinAcosB的值；

(2)、若 $\frac{a}{b} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求B．

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18. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= $\sqrt{2}$ ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．

（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．

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19. 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为 $\frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）若出现故障的机器台数为x，求x的分布列；
（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名维修工人，求该厂每月获利的均值．

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20. 如图，已知抛物线E：y²=x与圆M：（x﹣4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{x}{l n x} ， g (x) = k (x - 1)$ ．

(1)、证明：∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；

(2)、若∃x∈[e，e²]，使得f（x）≤g（x）+ $\frac{1}{2}$ 成立，求实数k的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，已知点P（0， $\sqrt{3}$ ），曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} c o s φ \\ y = 2 s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= $\frac{\sqrt{3}}{2 c o s (θ - \frac{π}{6})}$ ．
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 $\frac{1}{| P A |}$ + $\frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．

(1)、若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；

(2)、若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．

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广告费用x（万元）	2	3	4	5	6
销售轿车y（台数）	3	4	6	10	12