2017年广东省广州市天河区高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x²﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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2. 已知复数Z的共轭复数 $\bar{Z}$ = $\frac{1 - i}{1 + 2 i}$ ，则复数Z的虚部是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ i C、﹣ $\frac{3}{5}$ D、﹣ $\frac{3}{5}$ i

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3. 已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则a₂=（）

A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣10

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4. 设f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in [- 1 ， 1) \\ x^{2} - 1 ， x \in [1 ， 2] \end{matrix}$ ，则 $\int_{- 1}^{2}$ f（x）dx的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ + $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ +3 C、 $\frac{π}{4}$ + $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$ +3

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5. 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）

A、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ B、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{10!}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{11}$ D、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{11!}$

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6. 如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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7. 已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（2017）+f（2016）=（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、1

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8. 某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）

A、720种 B、520种 C、600种 D、360种

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9. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是 $\frac{2}{3}$ b，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{13}{9}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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10. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）

A、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递减 B、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递增 C、在区间[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{6}$ ]上单调递减 D、在区间[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{6}$ ]上单调递增

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11. 如图所示，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁内接于半径为 $\sqrt{3}$ 的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 已知函数f（x）=sin $\frac{π}{2}$ x﹣1（x＜0），g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ） B、（ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，1） C、（﹣∞，﹣1） D、（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）

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二、填空题

13. 在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若 $\vec{A D}$ =m $\vec{A B}$ +n $\vec{A C}$ ，则m+n= ．

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14. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 6 \geq 0 \\ x \leq 3 \\ x + y + k \geq 0 \end{matrix}$ ，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k= ．

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15. 下面给出四种说法：
①用相关指数R²来刻画回归效果，R²越小，说明模型的拟合效果越好；
②命题P：“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x²﹣x﹣1≤0”；
③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）= $\frac{1}{2}$ ﹣p
④回归直线一定过样本点的中心（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ）．
其中正确的说法有（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）

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16. 已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n=2b_n+3（n∈N^*），若{b_n}的前n项和为S_n= $\frac{3}{2}$ （3ⁿ﹣1）且λa_n＞b_n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是．

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三、解答题

17. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （a²+c²﹣b²）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b= $\sqrt{3}$ ，求（ $\sqrt{3}$ ﹣1）a+2c的最大值．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= $\frac{1}{2}$ AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

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19. 随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别；T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从广州市交通指挥中心随机选取了50个交通路段进行调查，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

(1)、据此直方图，估算交通指数T∈[3，9）时的中位数和平均数；

(2)、据此直方图，求市区早高峰马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率；

(3)、某人上班路上所用时间，若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人上班所用时间的数学期望．

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20. 已知圆E：（x+ $\sqrt{3}$ ）²+y²=16，点F（ $\sqrt{3}$ ，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足 $\vec{A M}$ = $\vec{M B}$ ，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=ax²﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

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四、选修4-4：坐标与参数方程

22. 已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin²θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x' = x \\ y' = 2 y \end{matrix}$ 后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

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五、选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．

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