2017年福建省厦门市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集为R，集合A={x|x²﹣2x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩（∁_RB）（）

A、{x|﹣1＜x＜2} B、{x|2＜x＜3} C、{x|x＜3} D、{x|﹣1＜x≤2}

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2. 复数z满足（1+ $\sqrt{3}$ i）z=4，则|z|等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 2 \\ x + y \geq 4 \\ 2 x - y - 12 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=3x+y的最小值为（）

A、﹣8 B、﹣2 C、8 D、 $\frac{44}{3}$

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4. 执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为12，则输入的a值可以为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“现有甲乙丙丁戊五人依次差值等额分五钱，要使甲乙两人所得的钱与丙丁戊三人所得的钱相等，问每人各得多少钱？”根据题意，乙得（）

A、 $\frac{2}{3}$ 钱 B、 $\frac{5}{6}$ 钱 C、1钱 D、 $\frac{7}{6}$ 钱

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6. 已知A，B为抛物线E：y²=2px（p＞0）上异于顶点O的两点，△AOB是等边三角形，其面积为48 $\sqrt{3}$ ，则p的值为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、4 $\sqrt{3}$

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7. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为偶函数，且在[0， $\frac{π}{4}$ ]上是增函数，则φ的一个可能值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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8. 甲、乙两名游客来厦门旅游，计划分别从鼓浪屿、曾厝垵、植物园、南普陀四个旅游景点中选取3个景点参观浏览，则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC、CD=2AB=4，∠A= $\frac{2 π}{3}$ ，向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{A D}$ =2 $\vec{a}$ ， $\vec{B C}$ =2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ，则下列式子不正确的是（）

A、| $\vec{b}$ |=2 B、|2 $\vec{a} - \vec{b}$ |=2 $\sqrt{3}$ C、2 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =﹣2 D、 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ =1

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10. 已知圆C的圆心在双曲线E：x²﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1的右支上，圆C过双曲线E的右焦点F，且与直线x=﹣2相切，则圆C截x轴所得的线段长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11. 过正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点A作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等，则满足条件的平面α的个数是（）

A、1 B、4 C、6 D、8

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12. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）= $\frac{1}{2}$ f（x﹣2π），且当x∈[0，2π）时，f（x）=8sinx，则函数g（x）=f（x）﹣lgx的零点个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

13. 已知（2x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）ⁿ展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是．

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14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．

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15. 若关于x的方程e^2x+ae^x+1=0有解，则实数a的取值范围是．

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16. 已知数列{a_n} 满足a₁= $\frac{1}{3}$ ，a₂= $\frac{2}{3}$ ，a_n+2﹣a_n+1=（﹣1）ⁿ⁺¹（a_n+1﹣a_n）（n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n ，则S₂₀₁₇= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．

(1)、求角B的大小；

(2)、已知b= $\sqrt{3}$ ，BD为AC边上的高，求BD的取值范围．

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18. 如图，在以A、B、C、D、E为顶点的五面体中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，AB=2BE=4AD=4．

(1)、O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，证明：OF∥平面CDE；

(2)、当直线DE与平面CBE所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

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19. 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

(1)、由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（50.5＜Z＜94）．

(2)、在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；
②每次赠送的随机话费和对应概率如下：
赠送话费（单位：元）
10
20
概率
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列．
附： $\sqrt{210}$ ≈14.5
若Z～N（μ，δ²），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为F₁（﹣1，0）和F₂（1，0），点M为BC边的中点．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、设点M的轨迹为曲线T，直线MF₁与曲线T另一个交点为N，线段MF₂中点为E，记S=S $_{△ N F_{1} O}$ +S $_{△ M F_{1} E}$ ，求S的最大值．

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21. 函数f（x）= $\frac{l n x + 2}{x}$ +a（x﹣1）﹣2．

(1)、当a=0时，求函数f（x）的极值；

(2)、若对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式 $\frac{f (x)}{1 - x}$ ＜ $\frac{a}{x}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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四、选做题

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = \sqrt{3} + t s i n α \end{matrix}$ （t为参数），其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁：ρ=4cosθ．直线l与曲线C₁相切．

(1)、将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．

(2)、已知点Q（2，0），直线l与曲线C₂：x²+ $\frac{y^{2}}{3}$ =1交于A，B两点，求△ABQ的面积．

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23. 设函数f（x）=|x+ $\frac{3}{a}$ |+|x﹣2a|．

(1)、证明：f（x）≥2 $\sqrt{6}$ ；

(2)、若a＞0，且f（2）＜5，求a的取值范围．

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赠送话费（单位：元）	10	20
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$