2017年福建省三明市高考数学二模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合M={x|y= $\sqrt{1 - 3 x}$ }，集合N={x|x²﹣1＜0}，则M∩N=（）

A、{x|﹣1＜x≤ $\frac{1}{3}$ } B、{x|x≥ $\frac{1}{3}$ } C、{x|x≤ $\frac{1}{3}$ } D、{x| $\frac{1}{3}$ ≤x＜1}

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2. 复数 $\frac{1 - i}{3 + 4 i}$ （其中i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（3，1）， $\vec{b}$ =（x，﹣1），若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则x的值等于（）

A、﹣3 B、1 C、2 D、1或2

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4. 现有A，B两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则甲乙两人都选A选修课的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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6. 已知命题p₁：若sinx≠0，则sinx+ $\frac{1}{s i n x}$ ≥2恒成立；p₂：x+y=0的充要条件是 $\frac{x}{y}$ =﹣1，则下列命题为真命题的是（）

A、p₁∧p₂ B、p₁∨p₂ C、p₁∧（￢p₂） D、（￢p₁）∨p₂

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7. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为（）

A、64 B、84 C、340 D、1364

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8. 已知函数f（x）=sin（x+φ）﹣ $\sqrt{3}$ cos（x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x=π对称，则cos2φ=（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆x²﹣4x+y²+1=0的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、（1， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ） B、（1，2） C、（ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，+∞） D、（2，+∞）

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10. 函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{l n x}{1 + x} (x > 0) \\ \frac{l n (- x)}{1 - x} (x < 0) \end{matrix}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 在△ABC中，∠BAC的平分线交BC边于D，若AB=2，AC=1，则△ABD面积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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12. 已知球O的半径为1，A，B是球面上的两点，且AB= $\sqrt{3}$ ，若点P是球面上任意一点，则 $\vec{P A}$ • $\vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、[ $- \frac{3}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ] B、[ $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ] C、[0， $\frac{1}{2}$ ] D、[0， $\frac{3}{2}$ ]

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二、填空题

13. 已知 $s i n α = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4})$ 值为．

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14. 若抛物线y=ax²（a＞0）上任意一点到x轴距离比到焦点的距离小1，则实数a的值为．

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15. 某几何体的三视图如图所示，设该几何体中最长棱所在的直线为m，与直线m不相交的其中一条棱所在直线为n，则直线m与n所成的角为．

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16. 已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x² ，则函数y=g（f（x））﹣x零点的个数为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n=2a_n﹣2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\frac{n + 1}{a_{n}}$ ，求数列{b_n}前n项和T_n ．

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18. 某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率；
（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）；
（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是 $\hat{y}$ =2x+33，若张某2016年1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，AD=AP=2，AB=DP=2 $\sqrt{2}$ ，E为CD的中点，点F在线段PB上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）当三棱锥B﹣EFC的体积等于四棱锥P﹣ABCD体积的 $\frac{1}{6}$ 时，求 $\frac{P F}{P B}$ 的值．

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20. 已知直线y=x+m与抛物线x²=4y相切，且与x轴的交点为M，点N（﹣1，0）．若动点P与两定点M，N所构成三角形的周长为6．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l交曲线C于A，B两点，当PN⊥MN时，证明：∠APN=∠BPN．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x²+ax²+bx﹣ $\frac{5}{6}$ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x₁和x=x₂处取得极值，且|x₁﹣x₂|= $\sqrt{5}$ ，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明关于x的方程（k²+1）e^x^﹣1﹣kf′（x）=0至多只有两个实数根（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) - 2 = 0$ ，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C₁ ．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C₁交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．
（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）当x∈R时，f（x）≥a²﹣a﹣13，求实数a的取值范围．

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