2017年福建省泉州市普通高中高考数学适应性试卷（理科）（2）

试卷更新日期：2017-07-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数z满足 $z (\sqrt{3} + i) = 1 - \sqrt{3} i$ ，则|z|=（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 随机变量X服从正态分布（3，σ²），且P（X≤4）=0.84，则P（2＜X＜4）=（）

A、0.16 B、0.32 C、0.68 D、0.84

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3. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0. \end{matrix}$ 则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知a=log₂3，b=log₄7， $c = {0.3}^{- \frac{3}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、b＞a＞c B、a＞b＞c C、c＞a＞b D、c＞b＞a

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5. 已知sin2α= $\frac{1}{3}$ ，则cos²（ $α - \frac{π}{4}$ ）=（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣ $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中棱长最大值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 过双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{15}$ =1的右支上一点P，分别向圆C₁：（x+4）²+y²=4和圆C₂：（x﹣4）²+y²=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|²﹣|PN|²的最小值为（）

A、10 B、13 C、16 D、19

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8. 如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则x+y的取值范围是（）

A、[﹣4，4] B、 $[- \sqrt{21} ， \sqrt{21}]$ C、[﹣5，5] D、[﹣6，6]

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9. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（ $\frac{π}{2}$ ）=f（ $\frac{2 π}{3}$ ）=﹣f（ $\frac{π}{6}$ ），且f（x）在区间[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上单调，则f（x）的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、π

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10. 设四棱锥P﹣ABCD的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）

A、不存在 B、只有1个 C、恰有4个 D、有无数多个

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11. 函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - k x^{2} (k \in (\frac{1}{2} ， 1])$ ，则f（x）在[0，k]的最大值h（k）=（）

A、2ln2﹣2﹣（ln2）³ B、﹣1 C、2ln2﹣2﹣（ln2）²k D、（k﹣1）e^k﹣k³

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12. 5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是 $\frac{1}{2}$ ．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．有下列四个命题：p₁：恰有四支球队并列第一名为不可能事件；p₂：有可能出现恰有两支球队并列第一名；p₃：每支球队都既有胜又有败的概率为 $\frac{17}{32}$ ；p₄：五支球队成绩并列第一名的概率为 $\frac{3}{32}$ ．其中真命题是（）

A、p₁ ， p₂ ， p₃ B、p₁ ， p₂ ， p₄ C、p₁ ， p₃ ， p₄ D、p₂ ， p₃ ， p₄

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二、填空题

13. 某车间需要确定加工零件的加工时间，进行了若干次试验．根据收集到的数据（如表）：
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（分钟）
62
68
75
81
89
由最小二乘法求得回归直线方程 $\hat{y} = 0.67 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 的值为．

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14. 如图所示（单位：cm），图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为．

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过椭圆的右焦点F₂作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F₁PQ内切圆面积的最大值是．

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16. △ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，则BC= ．

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三、解答题

17. 在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（n+1）a_n+（n+1）!．
（Ⅰ）求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n!}}$ 是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n ．

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18. 某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案，
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案的越“优”．
（Ⅰ）若 $p = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（Ⅱ）若 $p = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
（Ⅲ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为菱形且 $∠ B A A_{1} = 60^{o}$ ，D，M分别为CC₁和A₁B的中点，A₁D⊥CC₁ ， AA₁=A₁D=2，BC=1．
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A₁的余弦值．

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20. 已知圆M：（x﹣a）²+（y﹣b）²=9，M在抛物线C：x²=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣x，g（x）=e^x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．

(1)、讨论函数g（x）的单调性；

(2)、当x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁：ρ²﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，曲线C₂：ρ= $\frac{3}{4 s i n (\frac{π}{6} - θ)}$ ，θ∈[0，2π]．
（Ⅰ）求曲线C₁的一个参数方程；
（Ⅱ）若曲线C₁和曲线C₂相交于A、B两点，求|AB|的值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣a|+| $\frac{1}{2}$ x+1|的最小值为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞0，求不等式f（x）≤4的解集．

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零件数x（个）	10	20	30	40	50
加工时间y（分钟）	62	68	75	81	89