甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A、－1，－2，－3，－4，… B、－1，－ $\frac{1}{2}$ ，－ $\frac{1}{3}$ ，－ $\frac{1}{4}$ ，… C、－1，－2，－4，－8，… D、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ，…， $\sqrt{10}$

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2. 下列不等式成立的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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3. 在△ $A B C$ 中， $a = 4 ， A = 30^{\circ}$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6$ C、 $\sqrt{3}$ D、9

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4. 已知 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $z = 4 x - y$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、12 D、16

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5. 在等差数列{a_n}中，若a₁ ， a₄是方程x²-x-6=0的两根，则a₂+a₃的值为（）

A、6 B、-6 C、-1 D、1

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6. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n. 若a₁＝－11，a₄＋a₆＝－6，则当S_n取最小值时，n等于(　　)

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 已知△ $A B C$ 的两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，则△ $A B C$ 的外接圆的直径为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{6}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{3} = 30$ ， $S_{6} = 100$ ，则 $S_{9}$ 的值为（）

A、260 B、130 C、170 D、210

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10. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} \cdot a_{4} = 9$ ，则 $\log_{\frac{1}{3}} a_{1} + \log_{\frac{1}{3}} a_{2}$ $+ \log_{\frac{1}{3}} a_{3} +$ $\log_{\frac{1}{3}} a_{4} + \log_{\frac{1}{3}} a_{5}$ 的值为（）

A、6 B、5 C、-6 D、-5

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11. 在△ $A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $∠ A = 60^{\circ}$ ， $b = 1$ ，面积 $S = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}$ 等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{26}$

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12. 已知△ $A B C$ 中，三个内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若△ $A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $2 S = {(a + b)}^{2} - c^{2}$ ，则 $\tan C$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 设 $a = \sqrt{7} + \sqrt{10}$ ， $b = \sqrt{3} + \sqrt{14}$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系是．

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14. 在△ $A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，如果 $a : b : c = 3 : 2 : 4$ ，那么 $\cos C$ $=$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + 2$ ,则 $a_{n}$ $=$

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16. 若对于任意的 $x \in [- 1, 2]$ ， $x^{2} + 2 x + 3 - 2 m \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是

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三、解答题

17. 已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$

(1)、若 $a = - 2$ ，求上述不等式的解集；

(2)、不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ ，求 $a, b$ 的值．

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 45^{°}, A C = \sqrt{10}$ ，且 $\cos C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $B C$ 边长；

(2)、求 $A B$ 边上中线 $C D$ 的长.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{4} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n \cdot a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \cos C + c \cos A = 2 b \cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}, c = 2$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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21. 已知在等比数列{a_n}中， $a_{2}$ ＝2， $a_{4} a_{5}$ ＝128，数列{b_n}满足b₁＝1，b₂＝2，且{ $b_{n} + \frac{1}{2} a_{n}$ }为等差数列．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{b_n}的前n项和．

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22. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公比 $q \neq 1$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别为某等差数列的第一、第二、第四项.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n + 1}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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