甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $A = 45 °$ ， $B = 60 °$ ， $a = 6$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ 则 $A =$ （）

A、 $90^{\circ}$ B、 $150^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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3. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n + 2} - a_{n}, a_{1} = 2, a_{2} = 5$ ，则 $a_{5}$ 为（）

A、-3 B、-11 C、-5 D、19

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{9} = 8$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前11项和 $S_{11}$ 等于( )

A、22 B、33 C、44 D、55

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5. 已知集合 $A = {x \in R | 2 x - 3 \geq 0}$ ，集合 $B = {x \in R | x^{2} - 3 x + 2 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \geq \frac{3}{2}}$ B、 ${x | \frac{3}{2} \leq x < 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | \frac{3}{2} < x < 2}$

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6. 若 $a, b, c, d \in R$ ，且 $a > b, c > d$ 那么（）

A、 $a - c > b - d$ B、 $a c > b d$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $a - d > b - c$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} a_{7} = 6$ ， $a_{2} + a_{10} = 5$ ，则 $\frac{a_{18}}{a_{10}}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} 或 - \frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

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8. 设 $a ， b ， c \in R ， a b = 2 ，$ 且 $c \leq a^{2} + b^{2}$ 恒成立，则 $c$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sin^{2} A \leq \sin^{2} B + \sin^{2} C + \sin B \sin C$ ，则A的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5 π}{6}]$ B、 $[\frac{5 π}{6} ， π)$ C、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{2 π}{3} ， π)$

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10. 关于 $x$ 的不等式 $(a^{2} - 1) x^{2} - (a - 1) x - 1 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, 1)$ B、 $[- \frac{3}{5}, 1]$ C、 $(- \frac{3}{5}, 1) \cup {- 1}$ D、 $(- \frac{3}{5}, 1]$

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11. 已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅ ，若存在两项a_m ， a_n使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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12. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积为 $S$ ，若 $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2} = 2 \sqrt{3} S$ ，则 $Δ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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14. 如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度 $B C$ 等于m．

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = (a_{n} + 1) \cos n π$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2019} = - 2019$ ，则 $a =$ .

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三、解答题

16. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 1 \\ y \leq x \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为

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17. 已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁ ， a₃ ， a₉成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项；

(2)、求数列{ $2^{a_{n}}$ }的前n项和S_n ．

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18. 已知 $Δ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 2$ ， $sin C = 2 sin A$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3} = 7$ ， $a_{5} + a_{7} = 26$ ． ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （ $n \in N^{+}$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (m - 2) x (m \in R)$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $(- 2, 4)$ ,求 $m$ 的值;

(2)、若对任意 $x \in [0, 4], f (x) + 2 ⩾ 0$ 恒成立,求 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、设 $∠ A C D = α$ ， $∠ A D C = β$ ，若 $A D \cos α = A C \cos β$ ， $α = \frac{π}{3}$ ，求 $Δ A C D$ 面积的最大值．

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , 满足 $a_{n} = \frac{3}{4} S_{n} + \frac{1}{2} (n \in N *)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = n a_{n}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、若不等式 $T_{n} + \frac{a}{n} \cdot 2^{2 n + 1} - \frac{2}{9} > 0$ 对任意的 $n \in N *$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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