浙江省丽水市四校2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的半径为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{m}$ =1（0＜m＜4）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则m的值为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 经过点（1，-3），倾斜角是150°的直线方程是（　　）

A、 $x - \sqrt{3} y - 3 \sqrt{3} + 1 = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y + 3 \sqrt{3} - 1 = 0$ C、 $x - \sqrt{3} y + 3 \sqrt{3} - 1 = 0$ D、 $x + \sqrt{3} y - 3 \sqrt{3} + 1 = 0$

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4. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{2} x - 2 \sqrt{2} y + 3 = 0$ 的位置关系是（）

A、外离 B、相交 C、内切 D、外切

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5. 若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线m＋2y＋4＝0平行，则m的值是（）

A、1 B、－2 C、1或－2 D、 $- \frac{3}{2}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A、 $4 + 8 \sqrt{3} + π$ B、 $4 + 8 \sqrt{3} + 2 π$ C、 $8 + 8 \sqrt{3} + π$ D、 $8 + 8 \sqrt{3} + 2 π$

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7. 已知抛物线C：y²=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且 $\vec{F A}$ =-2 $\vec{F B}$ ，则|AB|=（　　）

A、3 B、6 C、9 D、12

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8. 已知直线 $y = m x + 3 m$ 和曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数ｍ的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{2}{5} \sqrt{5})$ B、 $[- \frac{2}{5} \sqrt{5} ， 0]$ C、 $(- \frac{2}{5} \sqrt{5} ， \frac{2}{5} \sqrt{5})$ D、 $[0 ， \frac{\sqrt{14}}{7})$

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9. 已知实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x \geq a \\ x \leq y \end{matrix}$ ，且 $z = 2 x - y$ 的最大值是最小值的2倍，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为双曲线上一点，且 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，若 $\sin ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{6}$ 或 $2$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{6}$

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11. 在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：kx-y+4=0与直线l₂：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（　　）

A、2 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有相同的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若点P是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限内的交点，且 $| F_{1} F_{2} | = 4 | {PF}_{2} |$ ，设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $e_{2} - e_{1}$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ - $\frac{y^{2}}{3}$ =1的渐近线方程是，实轴长为．

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14. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x + y \leq 4 \\ - 2 x + y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数z=3x+y的最小值是，最大值是．

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15. 已知直线l₁：2x–y+1=0与l₂：x–2y+5=0相交于点P，则点P的坐标为，经过点P且垂直于直线3x+4y–5=0的直线方程为．

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16. 当直线l：kx-y+1-3k=0被圆x²+y²=16所截得的弦长最短时，k= ．

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17. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 $\sqrt{13}$ ，则双曲线C的标准方程为．

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18. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A (1 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，若在曲线 $C ： x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 a y + 5 a^{2} - 9 = 0$ 上存在点 $P$ 使得 $| P B | = 2 | P A |$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

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19. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{9}$ + $\frac{y^{2}}{5}$ =1的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若 $\vec{A F}$ =2 $\vec{F B}$ ，则k= ．

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三、解答题

20. 已知直线y=ax+1和抛物线y²=4x相交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）若a=-2，求弦长|AB|；

（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过原点O，求实数a的值．

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21. 已知直线l：y=kx+m与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）恰有一个公共点P，l与圆x²+y²=a²相交于A，B两点．

（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；

（Ⅱ）当k=- $\frac{1}{2}$ 时，△AOB的面积的最大值为 $\frac{1}{2}$ a² ，求椭圆的离心率．

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22. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过其焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，满足 $y_{1} y_{2} = - 4$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、已知点 $C$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ，记直线 $C A$ 、 $C B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $\frac{1}{k_{1}^{2}} + \frac{1}{k_{2}^{2}}$ 的最小值.

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23. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点P（1， $\frac{3}{2}$ ）为椭圆上一点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k₁ ，直线BN的斜率为k₂ ，若k₁=2k₂ ，求直线l斜率的值．

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