2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-26 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）

A、（2，4） B、（2，4] C、[1，+∞） D、（2，+∞）

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2. 下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）

A、y=﹣x³ B、y=2^|x| C、y= $x^{\frac{1}{2}}$ D、y=log₃（﹣x）

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3. 在极坐标系中，点（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2

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4. 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=± $\frac{1}{2}$ x的是（　　）

A、 $x^{2}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $y^{2}$ =1 C、 $\frac{y^{2}}{4}$ ﹣ $x^{2}$ =1 D、 $y^{2}$ ﹣ $\frac{x^{2}}{4}$ =1

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ ，﹣1），则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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8. 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 在复平面内，复数 $\frac{3 + 4 i}{i}$ 对应的点的坐标为．

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10. 执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为．

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11. 点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，记∠AOB=α，则sin2α= ．

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12. 若x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 1 \\ y \leq x - 1 \\ x + y \leq m \end{matrix}$ 且z=x²+y²的最大值为10，则m= ．

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13. 已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）= ．

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14. 已知O为△ABC的外心，且 $\vec{B O} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ．
①若∠C=90°，则λ+μ=；
②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．

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三、解答题

15. 在锐角△ABC中，2asinB=b．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求 $\sqrt{3}$ sinB﹣cos（C+ $\frac{π}{6}$ ）的取值范围．

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16. 某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a_i ， i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：
顾
客
产
品
a₁
a₂
a₃
a₄
a₅
a₆
a₇
a₈
a₉
a₁₀
a₁₁
a₁₂
a₁₃
a₁₄
a₁₅
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；
（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）

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17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求 $\frac{F H}{H C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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18. 已知函数f（x）=e^x﹣alnx﹣a．
（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间 $(\frac{a}{e} ， 1)$ 上有极小值，且极小值大于0．

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19. 已知椭圆E的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，点M $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，求k的值．

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20. 若无穷数列{a_n}满足：∃k∈N^* ，对于 $\forall n \geq n_{0} (n_{0} \in N^{*})$ ，都有a_n+k﹣a_n=d（其中d为常数），则称{a_n}具有性质“P（k，n₀ ， d）”．
（Ⅰ）若{a_n}具有性质“P（3，2，0）”，且a₂=3，a₄=5，a₆+a₇+a₈=18，求a₃；
（Ⅱ）若无穷数列{b_n}是等差数列，无穷数列{c_n}是公比为正数的等比数列，b₁=c₃=2，b₃=c₁=8，a_n=b_n+c_n ，判断{a_n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；
（Ⅲ）设{a_n}既具有性质“P（i，2，d₁）”，又具有性质“P（j，2，d₂）”，其中i，j∈N^* ， i＜j，i，j互质，求证：{a_n}具有性质“ $P (j - i ， i + 2 ， \frac{j - i}{i} d_{1})$ ”．

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顾客产品	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	a₈	a₉	a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅
A	1			1				1			1			1
B		1		1		1		1	1		1		1		1
C	1			1	1			1		1		1			1
D		1		1		1	1			1			1